Cono 2022 P5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Gianni De Rico

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Cono 2022 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Un número entero $n>1$, cuyos divisores positivos son $1=d_1<d_2<\cdots <d_k=n$, es sureño si todos los números$$d_2-d_1,d_3-d_2,\ldots ,d_k-d_{k-1}$$son divisores de $n$.
  1. Encuentre un entero positivo que no sea sureño y tenga exactamente $2022$ divisores positivos que son sureños.
  2. Demuestre que existen infinitos enteros positivos que no son sureños y tienen exactamente $2022$ divisores positivos que son sureños.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Uriel J

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Re: Cono 2022 P5

Mensaje sin leer por Uriel J »

Solución:
Spoiler: mostrar
Es claro que todo número potencia de $2$ es sureño pues $d_j-d_{j-1}=d_{j-1}$ (para todo $j<k+1$) que claramente es un divisor del numero. (Al ser una potencia de $2$, $d_j=2\cdot d_{j-1}$).

Entonces, el número $2^{2022}$ tiene $2023$ divisores positivos y $2022$ son sureños por lo que vimos antes. (Son todos menos el $1$)

Vamos a demostrar que todo número de la forma $2^{2022}\cdot 7^i$ tiene exactamente $2022$ divisores que son sureños y el número en sí no lo es (para todo $i$ entero positivo).
Una potencia de $7$ no es sureña pues es claro que $7$ no lo es y si el exponente es al menos $2$, entonces $d_3-d_2=42$ que debería dividir al número, pero una potencia de $7$ es impar, absurdo!. Luego, ninguna potencia de $7$ es sureña

Sea $2^a\cdot 7^b$ un divisor del número de la forma $2^{2022}\cdot 7^i$ con $a<2023$ y $b<i+1$ y $a$ y $b$ enteros positivos.
Luego, $d_2=2$ y $d_3=7$ o $d_3=4$ y $d_4=7$ pero en el primer caso significa que $d_3-d_2=5$ es divisor de $2^a\cdot 7^b$, absurdo! Y el segundo caso significa que $d_4-d_3=3$ que debe ser divisor de $2^a\cdot 7^b$. Absurdo!

Luego, los unicos números sureños divisores de $2^{2022}\cdot 7^i$ son las potencias de $2$ y son exactamente $2022$ números. Entonces, concluimos con el problema pues encontramos infinitos números con la condición que nos pedían.
1  
Nice bro, congratulations!
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Gianni De Rico

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Re: Cono 2022 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Veamos primero que todo número de la forma $2^t$, con $t\in \mathbb{N}$, es sureño. En efecto, tenemos que $d_m=2^{m-1}$ para $m=1,\ldots ,t+1$, de modo que $d_{m+1}-d_m=2^m-2^{m-1}=2^{m-1}$, para $m=1,\ldots ,t$. Entonces $2^t$ es sureño para todo $t\in \mathbb{N}$.
Veamos ahora que todo número de la forma $2^tp$, con $p$ primo tal que $p>2^t+1$, no es sureño. En efecto, los divisores positivos de $2^tp$ son de la forma $2^m$ o $2^mp$, con $0\leq m\leq t$, y como $p>2^t+1$, entonces están ordenados como $1,2,2^2,\ldots ,2^{t-1},2^t,p,2p,2^2p,\ldots ,2^tp$, es decir, $d_m=2^{m-1}$ y $d_{m+t+1}=2^{m-1}p$, para $m=1,\ldots ,t+1$. Entonces $d_{t+2}-d_{t+1}=p-2^t$, que es impar y mayor que $1$, de modo que no divide a $2^t$ ni a $p$, con lo que no divide a $2^tp$. Entonces $2^tp$ no es sureño.
Veamos finalmente que todo número de la forma $2^tp$, con $p$ primo tal que $p>2^t+1$, tiene exactamente $t$ divisores positivos sureños. Los $t$ divisores positivos $2,2^2,\ldots ,2^t$ de $2^tp$ son sureños pues son potencias de $2$. Los divisores positivos $p,2p,2^2p,\ldots ,2^tp$ de $2^tp$ no son sureños pues son de la forma $2^mp$, con $p$ primo tal que $p>2^t+1\geq 2^m+1$ para $m=0,\ldots ,t$. El $1$ no es sureño por definición. Entonces $2^tp$ tiene exactamente $t$ divisores positivos sureños.

Luego, para cada $t\in \mathbb{N}$, tenemos que todos los números de la forma $2^tp$, con $p$ primo tal que $p>2^t+1$, no son sureños y tienen exactamente $t$ divisores positivos sureños. Como los primos son infinitos, tenemos infinitos números de esta forma. En particular esto vale para $t=2022$, y ganamos.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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