Zonal 2006 N2 P3

[Gianni De Rico]

Sean $P$ y $Q$ puntos del plano tales que $PQ=65$. La circunferencia de centro $Q$ y radio $25$ corta al segmento $PQ$ en $A$.
La recta perpendicular a $PQ$ trazada por $A$ corta a la circunferencia de centro $P$ y radio $41$ en los puntos $B$ y $C$.
Calcular la medida del segmento $BC$.

[Ben raíz de 100]

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Los triángulos $BPA$ y $CPA$ son iguales y rectángulos en $A$. El cateto $PA$ mide $65-25=40$ y sus hipotenusas (por ser radios de la circunferencia de centro $P$) miden $41$. Por Pitágoras sacamos que $BA=CA=9$. Entonces $BC=18$.

[magnus]

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Comenzamos viendo que el punto $A$ pertenece al segmente $PQ$. Como $QA$ es un radio de $25$ entonces $PA=PQ-QA=65-25=40$.

También tenemos que como $BC\perp BC \Rightarrow B\widehat{A}P= C\widehat{A}P = 90°$.También tenemos que $PB=PC$ por ser radios de la misma circunferencia. Entonces, $APC$ y $APB$ son triángulos rectángulos congruentes que nos lleva a que $AB=AC$ entonces con calcular uno estaríamos.

Hacemos teorema de pitágoras tal que $PA^2+AB^2=PC^2=40^2+AB^2=41^2 \Rightarrow AB=9$. Y cerramos haciendo $BC=2\times AB=2\times 9 =18$

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