Una desigualdad conocida

[Juaco]

Probar que para toda terna de números $a, b, c$ no negativos se cumple que $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$

[Turko Arias]

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Sin pérdida de generalidad por la simetría de la expresión $a \leq b \leq c$.
Si $a=0$ entonces $a+b-c \leq 0$, $a+c-b \geq 0$ y $b+c-a \geq 0$ por lo que el lado izquierdo es como máximo cero y el lado derecho es como mínimo cero así que se cumple.
Si $a+b-c \leq 0$ es cierta la desigualdad porque el lado derecho es no negativo y el lado izquierdo es no positivo (notar que es imposible que más de uno de los factores sea negativo porque los factores donde $c$ aparece sumando no pueden ser negativos).
Si $a+b-c>0$ entonces $a, b, c$ son lados de un triángulo y existen reales positivos $x, y, z$ tales que $a=x+y, b=y+z, c=x+z$. La desigualdad se convierte en probar $(2x)(2y)(2z) \leq (x+y)(y+z)(x+z)$ que se puede demostrar con tres AM-GM. El detalle de este paso lo escribí en la solución del P2 IMO 2000 y aprovecho para recomendar ese problema, que es una gran muestra del poder de la idea que hay detrás de esta desigualdad tan copada.