Problema 4 Olimpíada Iberoamericana de Matemática del 2004

[Turko Arias]

Determinar todas las parejas [math](a,b), donde [math]a y [math]b son enteros positivos de dos dígitos cada uno,
tales que [math]100a + b y [math]201a + b son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.

[Turko Arias]

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Por enunciado sabemos que [math]100a+b=q^2 y que [math]201a+b=k^2.
Restando ambos obtenemos:
[math]k^2-q^2=101a [math]\Rightarrow [math](k+q)(k-q)=101a.
Notamos que si o si uno de los dos factores tiene que ser [math]101 y el otro [math]a, ya que [math]101 es primo, y si alguno fuera de la forma [math]101m, para [math]m>1 entonces sería mayor o igual a [math]202, y es imposible que la suma de dos números positivos de [math]2 cifras de eso, por lo tanto un factor es [math]101 y el otro [math]a.
Como [math]k+q>k-q y [math]a tiene [math]2 cifras, entonces [math]k+q=101 y [math]k-q=a. También sabemos que [math]a tiene la misma paridad que [math]101, ya que la diferencia entre [math]101 y [math]a es [math]2q que obviamente es par. Ahora bien, como [math]k>q y su suma es [math]101, podemos concluir que [math]q\leq 50, por lo tanto, reemplazando en las igualdades que nos brinda el problema obtenemos:
[math]100a+b\leq 50^2 [math]\Rightarrow [math]100a+b\leq 2500.
Le adjudicamos a [math]b el menor valor posible, y nos queda:
[math]100a\leq 2490 [math]\Rightarrow [math]a\leq 24,9 pero como [math]a es entero [math]a\leq 24, pero como sabemos que es impar, [math]a\leq 23.
Y como tiene [math]2 cifras, los posibles valores para [math]a son [math]11,13,15,17,19,21,23
Si [math]a=11 entonces [math]q=45, pero en este caso [math]b tendría [math]3 cifras.
Si [math]a=13 entonces [math]q=44, pero en este caso [math]b seguiría con [math]3 cifras.
Si [math]a=15 entonces [math]q=43, pero en este caso [math]b seguiría con [math]3 cifras.
Si [math]a=17 entonces [math]q=42, y [math]b=64 que cumple con el enunciado.
Si [math]a=19,21,23 entonces [math]q=41,40,39 y [math]b toma valor negativo, que incumple con el enunciado. Por lo tanto el único par que funciona es [math](17,64) que reemplazando en el enunciado obtenemos:
[math]100.17+64=42^2 y [math]201.17+64=59^2.

[Ivan]

Notamos que si o si uno de los dos factores tiene que ser [math]101 y el otro [math]a, ya que [math]101 es primo, y si alguno fuera de la forma [math]101m, para [math]m>1 entonces sería mayor o igual a [math]202, y es imposible que la suma de dos números positivos de [math]2 cifras de eso, por lo tanto un factor es [math]101 y el otro [math]a.

No veo por qué [math]k y [math]q son números de dos dígitos. El único argumento que se me ocurre no alcanza: [math]k=\sqrt{201\cdot a+b}\leq \sqrt{201\cdot 99+99}<142 y [math]q=\sqrt{100\cdot 99 +99}<100. Pero esto permite concluir solamente [math]k+q<242.

Igual esto puede servir, porque te dice que alguno de los factores es [math]101 o [math]202 (con [math]303 ya te pasás).

Lo demás suena bien

[Nacho]

[math]k y [math]q son de dos dígitos porque dice que [math]100a+b=k^2 y [math]201a + b = q^2 tienen cuatro dígitos en el enunciado, entonces, si alguno de los dos [math]k o [math]q tuviera tres o más digitos, [math]q\geq100 \Rightarrow q^2 \geq 10000.

[Ivan]

Ah es verdad, no dije nada

Como curiosidad (ya que me puse a pensarlo lo posteo), si uno saca la condición de los cuatro dígitos no aparecen soluciones nuevas:

Miremos el caso [math]k+q=202, [math]k-q = \frac{a}{2}.

Se puede despejar [math]q=\frac{404-a}{4} y después [math]b=\frac{a^2- 2408 a+ 404^2}{16}.

No es necesario encontrar para cada uno de los [math]90 valores posibles de [math]a el [math]b_a correspondiente y revisar si el par [math](a,b_a) es solución, de todos modos hay que hacer alguna cuenta que a mano sería bastante molesta para ver que [math]b_{69}>100 y [math]b_{70}<0. Con esto estamos, ya que [math]b_a decrece en el intervalo que nos interesa (cuando [math]a está entre [math]0 y [math]100).

[Joacoini]

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$100a+b=c^2$(1) y $201a+b=d^2$(2)
Como $a$ y $b$ tienen 2 dígitos y $c^2$ y $d^2$ 4.
$1010\leq c^2\leq 9999\Rightarrow 32\leq c\leq 99$
$2020\leq d^2\leq 9999\Rightarrow 44\leq d\leq 99$

$201a+b-100a-b=101a=d^2-c^2=(d+c)(d-c)$

Si $101$ divide a $d-c$ entonces $d+c$ divide a $a$ entonces $101\leq d-c\leq d+c\leq a$ pero a tiene 2 dígitos, contradicción y asumimos que $101$ divide a $d+c$.
$d+c\leq 99+99=198$ por lo que $d+c$ es $101$

$a=d-c\Rightarrow a+c=d$
Remplazamos en (2)
$201a+b=(a+c)^2=a^2+2ac+c^2\Rightarrow 100a+b=c^2=a^2+2ac+c^2-101a\Rightarrow 0=a^2+2ac-101a\Rightarrow 101=a+2c\Rightarrow 101-2c=a$

Remplazamos en (1)
$100×101-200c+b=c^2\Rightarrow b=c^2+200c-10100$

Como $b$ tiene 2 dígitos.
$10\leq c^2+200c-10100\leq 99\Rightarrow 10110\leq c^2+200c\leq 10199$

Jugando con la aproximación de $c$ que teníamos antes sacamos que el único valor es $c=42$, luego $a=17$, $b=64$ y $d=59$