La ecuación es $\sqrt{a}=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{b}$, con lo que elevando al cuadrado a ambos lados y reacomodando obtenemos $b-a+4+\sqrt{7}=2\sqrt{4b+\sqrt{7}b}$. Ahora elevamos nuevamente al cuadrado a ambos lados y obtenemos una ecuación del estilo $p+q\sqrt{7}=r+s\sqrt{7}$, con $p,q,r,s\in \mathbb{Q}$. El chiste es que la única forma de que pase esto es que $p=r$ y $q=s$. En efecto, supongamos que $q\neq s$, entonces despejando obtenemos que $\sqrt{7}=\dfrac{r-p}{q-s}\in \mathbb{Q}$, lo que es absurdo pues $\sqrt{7}$ es irracional. Se sigue que $q=s$, y por lo tanto que $p=r$. Bueno, si usamos esto en la cuenta que obtuvimos antes llegamos a que $2(b-a)=4b-8$ y $(b-a)^2+8(b-a)+23=16b$, reemplazando en la última igualdad $b-a=2b-4$ y resolviendo la cuadrática obtenemos que $b=\dfrac{1}{2}$ o $b=\dfrac{7}{2}$, con sus correspondientes $a=\dfrac{7}{2}$ y $a=\dfrac{1}{2}$, respectivamente, que se despejan a partir de $b-a=2b-4$. Es claro que ambos pares funcionan.
En conclusión, los únicos pares que funcionan son $(a,b)=\left (\dfrac{1}{2},\dfrac{7}{2}\right )$ y $(a,b)=\left (\dfrac{7}{2},\dfrac{1}{2}\right )$.
