CIMA 2013 - P6

[Gianni De Rico]

Sean $f_1,\ldots ,f_n$ polinomios en $\mathbb{C}[X]$ tales que, para todo $1\leq k\leq n$,$$\sigma _k(f_1,\ldots ,f_n):=\sum \limits _{1\leq i_1<\cdots <i_k\leq n}f_{i_1}\cdots f_{i_k}$$es un polinomio en $\mathbb{Q}[X]$. Probar que$$\prod \limits _{1\leq j\leq n}f'_j\in \mathbb{Q}[X],$$donde $f'_j$ denota al polinomio derivado de $f_j$, para todo $1\leq j\leq n$.