Selectivo Cono Sur PERÚ 2018 Pregunta 4
Selectivo Cono Sur PERÚ 2018 Pregunta 4
Considere los números $$S_{1}=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{1\cdot 4}+\cdots+\dfrac{1}{1\cdot 2018},$$ $$S_{2}=\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{2\cdot 4}+\dfrac{1}{2\cdot 5}+\cdots+\dfrac{1}{2\cdot 2018},$$ $$S_{3}=\dfrac{1}{3\cdot 4}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dfrac{1}{3\cdot 6}+\cdots+\dfrac{1}{3\cdot 2018},$$ \begin{array}{l r} \vdots & \vdots \\ \end{array} $$S_{2017}=\dfrac{1}{2017\cdot 2018}$$ Pruebe que el número $S_1 + S_2 + S_3 + \cdots + S_{2017}$ no es entero.
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Turko Arias
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Re: Selectivo Cono Sur PERÚ 2018 Pregunta 4
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Re: Selectivo Cono Sur PERÚ 2018 Pregunta 4
Che, usé sumatorios porque me pareció que así sería más fácil escribir la solución, pero como no estoy acostumbrado a usar ese símbolo capaz expresé mal algo... si es así, avísenme y lo corrijo
Última edición por FabriATK el Mar 23 Nov, 2021 12:36 am, editado 3 veces en total.
Re: Selectivo Cono Sur PERÚ 2018 Pregunta 4
FabriATK escribió: ↑Lun 22 Nov, 2021 4:10 pm
Veamos que $i$ y $j$ van formando todas las combinaciones de enteros entre $1$ y $2018$
Ahora, supongamos que existe un primo $P$ tal que $1 < P < 2 \times P \leq 2018$
Entonces tendríamos que $P \mid 2018!$
Y cada término de $\sum_{1\leq i < j \leq 2018} \frac{2018!}{i \times j}$ cae en exactamente una de las siguientes categorías:
A) $P \mid i$ y $P \nmid j \Rightarrow \frac{2018!}{i\times j} \equiv 0 \pmod P$. Y la suma de todos los términos pertenecientes a A) será congruente a $0$ mod $P$.
B) $P \nmid i$ y $P \mid j \Rightarrow \frac{2018!}{i\times j} \equiv 0 \pmod P$. Y la suma de todos los términos pertenecientes a B) será congruente a $0$ mod $P$.
C) $P \mid i$ y $P \mid j \Rightarrow \frac{2018!}{i\times j} \not\equiv 0 \pmod P$. Como sólo hay dos múltiplos de $P$ entre $1$ y $2018$, sólo un término entra en C).
Me parece muy interesante la solución, es sencilla, hay muchas posibilidades para el primo $P$, aparte que el mismo argumento parece poder usarse en un caso más general. Aunque creo que no basta con decir que $1 < P < 2 \times P \leq 2018$ sino que deberíamos añadir que $2018< 3\times P$. Y si no me equivoco en los casos A), B), C) deberíamos añadir otro en el que $P \nmid i$ y $P \nmid j$.