Problema divertido de álgebra

Acá se puede discutir dudas sobre ejercicios que no son problemas de olimpíadas.
Findthex
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Problema divertido de álgebra

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Encuentre todas las parejas de números enteros (a,b) tales que a+b es una raíz del polinomio x²+ax+b.
Uridig

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Re: Problema divertido de álgebra

Mensaje sin leer por Uridig »

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Como $a+b$ es raíz del polinomio $x^2+a.x+b$, reemplazo $x$ por $a+b$ y lo igualo a $0$
$(a+b)^2+(a+b)\times a+b=0 \Rightarrow a^2+2ab+b^2+a^2+ab+b=2a^2+3ab+b^2+b=0$
Uso la fórmula resolvente cuadrática con $a$ como variable
$a=\frac{-3b\pm \sqrt{(3b)^2-4\times 2\times (b^2+b)}}{4}=\frac{-3b\pm \sqrt{b^2-8b}}{4}=\frac{-3b\pm \sqrt{b\times (b-8)}}{4}$
Como $a$ es entero, $\sqrt{b\times (b-8)}$ debe ser entero, por lo que $b\times (b-8)$ es un cuadrado perfecto
$c=b-4$
$(c+4)\times (c-4)$ es un cuadrado perfecto, $c^2-16=x^2\Rightarrow x^2+4^2=c^2$, entonces $x=0$ y $c^2=16$ o $x=3$ y $c^2=25$
$C=4, b=8$, $C=-4, b=0$, $C=5, b=9$ o $C=-5, b=-1$
Si $b=8$
$a=\frac{-3\times 8\pm \sqrt{0}}{4}$ $a=-6$
Si $b=0$
$a=\frac{-3\times 0\pm \sqrt{0}}{4}$ $a=0$
Si $b=9$
$a=\frac{-3\times 9\pm \sqrt{9}}{4}$ $a=-6$ y $a\neq -\frac{30}{4}$ ya que no es entero
Si $b=-1$
$a=\frac{-3\times -1\pm \sqrt{9}}{4}$ $a=0$ o $a\neq -\frac{6}{4}$ ya que no es entero
Respuesta
$a=-6, b=8$, $a=-6, b=9$, $a=0, b=0$, $a=0, b=-1$
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