Se calculan los primeros $2021$ cuadrados perfectos: $1^2,2^2,3^2,\ldots ,2020^2,2021^2$. Determinar en cuántos de estos números el dígito de las decenas es impar.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
Para cualquier multiplicación de un cuadrado perfecto, vemos que las decenas del resultado será de la forma:
AB
x AB
------
BA B^2
AB ---
(Con 0≤A,B≤9).
Osea, decena del resultado= 2AB + X
X= la decena del producto de las unidades, si esta es >10. Si es <10, X=0.
Como 2AB= número par, la decena será impar <=> X=impar.
Esto solo pasa cuando B^2 tiene como resultado un número con su decena impar.
Esto se cumple para 4^2= 16 y 6^2=36.
Osea, que para todos los números que finalicen en 4 o 6, sus cuadrados perfectos van a tener decena impar.
Son en total 202 decenas de números +1 (este es el 2021).
Como cada 10 números hay dos que finalizan en 4 o 6:
202 x 2= 404 números que al calcular su cuadrado perfecto, el resultado tiene dígito impar.
Sea $n = \overline{d_k … d_2d_1}$ la expresión decimal de $n$:
$n \equiv 10d_2 + d_1 \; (20)$
Estamos buscando que $d_2 = 2k+1$ para un entero $k$. Luego:
$n \equiv 10(2k+1) + d_1 = 20k + 10 + d_1 \equiv 10 + d_1 \; (20)$
$n - d_1 \equiv 10 \; (20)$
Luego un cuadrado verifica la condición del enunciado si y solo si:
$r_{20}(n^2) - r_{10}(n^2) \equiv 10 \; (20)$
Donde esos son los restos de $n^2$ módulo $20$ y $10$ respectivamente.
Haciendo la lista de residuos cuadráticos módulo $20$ y $10$ (que ambos se dan en un ciclo de largo $10$) y evaluando los $10$ primeros valores, podemos comprobar que solo aquellos $n \equiv 4, 6 \; (10)$ funcionan.
Alcanzando que la cantidad de números que verifican son:
$2(\frac{2020}{10}) = 404$
Para saber la cifra de las decenas de $x^2$ puedo analizar las dos ultimas cifras de $x$ ya que son las que determinan el digito de las decenas: entonces si escribo $x=100A+10B+C$, obtengo $x^2=(100A+10B+C)(100A+10B+C)=10000A^2+1000AB+100AC+1000BA+100B^2+20BC+100AC+C^2$, si alguna de las cifras fuera $0$ no me afecta a la cifra de las decenas pues el termino correspondiente me daria $0$; entonces solo hay dos terminos que me dan un numero de dos cifras : $20BC$ y $C^2$
Si $20BC$ fuera un numero de dos cifras entonces: $1\leq BC\leq4$ y si $C^2$ es un numero de dos cifras entonces $C\geq 4$
Ahora las posibles combinaciones de $BC$ que me me dan un numero de dos cifras serian $(B,C)=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(3,1),(4,1)$. Todas esas combinaciones, salvo $(1,4)$, me darian que el unico numero de dos cifras seria $20BC$, que nunca tendria cifra de decenas impar pues es un multiplo de $20$. Todas esas opciones quedan descartadas, salvo $(1,4)$, que obtendria $20*1*4+4^2=96$ que es valida pues su cifra de las decenas es impar.
El otro caso seria analizar $C\geq 4$, que es independiente del valor de $B$, el unico caso que se combinaria seria el anterior que ya se que es valido. Entonces $B$ puede tomar cualquier valor (incluido $0$) ya que este numero depende solo de $C$: a saber, los cuadrados perfectos que entrarian en estos casos serian $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$, $7^2=49$, $8^2=64$, $9^2=81$. De todos los casos los unicos que tienen cifras impares en las decenas son $C=4$ y $C=6$.
En conjunto, los $x$ que cumplen lo pedido son todos los que terminan en $4$ y en $6$ independientemente de $B$. Por lo tanto, si analizo de $1$ hasta $1999$ en conjunto, tengo: $x=100A+10B+C$ donde $0\leq A\leq19$, $0\leq B\leq9$ y $C=4 o 6$. En total serian $20*10*2=400$ numeros.
Y luego tengo que agregarle los numeros que verifican lo pedido desde $2000$ hasta $2021$ : $2004$, $2006$, $2014$ y $2016$. Lo que me daria de resultado final $400+4=404$ numeros
