Conjuntos

[Rafaeldigiovanni]

Necesito ayuda con el siguiente ejercicio el cual es para resolver mediante el diagrama de Venn:

De un grupo de 700 alumnos de la universidad inscriptos en Álgebra, Análisis o Matemática Discreta se sabe que:

- 300 alumnos regularizaron Álgebra

- 400 alumnos regularizaron Análisis

- 250 alumnos regularizaron Matemática Discreta

- 180 alumnos regularizaron Álgebra y Análisis

- 130 alumnos regularizaron Álgebra y Matemática Discreta

- 170 alumnos regularizaron Matemática Discreta y Análisis

- 120 alumnos no regularizaron ninguna de las tres materias

Luego, la cantidad de alumnos que regularizaron sólo una de las tres materias es
Seleccione una:
a. 320
b. 470
c. 110
d. Ninguna de las opciones
e. Los datos son insuficientes

[Renzo Gemma]

Respuesta:

Spoiler: mostrar

$A: 320$

Análisis:

Spoiler: mostrar

Como bien aclaraste, con Diagramas de Venn esto se puede resolver sencillamente, aquí te muestro cómo:

Sea la intersección entre los $3$ conjuntos un valor incógnita que llamaré $x$. Es decir, $M.D.\bigcap Álgebra \bigcap Análisis= x$

Tenemos también $3$ regiones que son la intersección pero de sólo $2$ de los $3$ conjuntos que, como ya sabemos sus valores, debemos determinar aquel valor dentro de esa intersección los que no regularizan la $3ª$ materia sobrante.

Es decir, como sabemos que los que regularizan $2$ materias podrían llegar a regularizar $3$ materias (ya que estas intersecciones contienen a la primera intersección $x$ de los alumnos que regularizan 3) debemos restar en cada caso $x$ en estas intersecciones.

Formalizando tenemos que:

$M.D. \bigcap Álgebra = 130 = x+a \Rightarrow a=130-x$

$M.D. \bigcap Análisis= 170 = x+b \Rightarrow b=170-x$

$Álgebra \bigcap Análisis= 180 = x+c \Rightarrow c=180-x$

Ahora sólo debemos determinar en función de $x$ la cantidad de alumnos que sólo regularizan $1$ sola materia en cada caso.

Cómo en cada conjunto puede suceder que los alumnos regularicen también $2$ o $3$ materias debemos restarle al conjunto cada una de las intersecciones con otros conjuntos, los cuales ya averiguamos.

Formalizando tenemos que:

$Álgebra = 300 = a + x + c + t = (130-x)+x+(180-x) \Rightarrow t = 300-310+x=x-10$

$Análisis = 400 = b + x + c + p = (170-x)+x+(180-x) \Rightarrow p = 400-350+x=50+x$

$M.D. = 250 = a + x + b + q = (130-x)+x+(170-x) \Rightarrow q = 250-300+x=x-50$

Como sabemos hay $120$ alumnos que no regularizan ninguna materia, por lo que estarán en el sector de afuera de los conjuntos en nuestro Diagrama.

También sabemos que la suma de todas las intersecciones debe ser $700$ y que la cantidad de alumnos que regularizan $1$ materia será $t+p+q=(x-10)+(50+x)+(x-50)=3x-10$.

Entonces planteamos:

$700=120+(x-50)+(130-x)+(x-10)+Análisis$

$700=120+x-50+130-x+x-10+400=590+x$

$x=700-590=110$

$\therefore$

La cantidad de alumnos que sólo aprobaron $1$ materia es $3(110)-10=320$

$Q.E.D.$