Desigualdad con mínimos
Desigualdad con mínimos
Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1, a_2, \dots, a_n$ y $b_1, b_2, \dots, b_n$ reales no negativos. Demostrar que
$$\sum_{1\leq i,j\leq n}{\min\,\{a_ia_j,\, b_ib_j\}}\leq \sum_{1\leq i,j\leq n}{\min\,\{a_ib_j,\, a_jb_i\}}$$
donde $\min\,\{x,\, y\}$ denota al menor número entre $x$ e $y$.
Nota: La sumatoria tiene $n^2$ sumandos, uno por cada par $(i,j)$ con $i, j$ enteros entre $1$ y $n$ incluidos.
$$\sum_{1\leq i,j\leq n}{\min\,\{a_ia_j,\, b_ib_j\}}\leq \sum_{1\leq i,j\leq n}{\min\,\{a_ib_j,\, a_jb_i\}}$$
donde $\min\,\{x,\, y\}$ denota al menor número entre $x$ e $y$.
Nota: La sumatoria tiene $n^2$ sumandos, uno por cada par $(i,j)$ con $i, j$ enteros entre $1$ y $n$ incluidos.