OMAlbum - Problema #A025

Reglas del Foro
Para poder publicar un mensaje en este foro necesitás tener una cuenta de OMA Foros (no es la misma que la de OMAlbum).
Podés contar cómo pensaste el problema, ideas que hayas tenido aunque no lo hayas podido terminar, preguntar dónde está el error en tu razonamiento, etcétera.
Podés comentar/ampliar sobre las ideas que hayan compartido otras personas.
Por favor, no publiques sólo la respuesta obtenida sin contar cómo lo pensaste.
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
OFO - Jurado-OFO 2018 OFO - Jurado-OFO 2020 OFO - Jurado-OFO 2021
Mensajes: 1114
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

OMAlbum - Problema #A025

Mensaje sin leer por Matías V5 »

En un torneo de fútbol participan $20$ equipos y cada equipo juega una vez contra cada uno de los restantes. Si un partido termina en empate, ambos equipos ganan $1$ punto; si no, el ganador gana $3$ puntos y el perdedor $0$ puntos.
Al finalizar el torneo hubo un equipo con $57$ puntos, nueve equipos con $38$ puntos, nueve equipos con $11$ puntos y un equipo con $0$ puntos.
¿Cuántos empates hubo en el torneo?
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
MRP

OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 16
Registrado: Sab 13 Oct, 2018 10:01 am
Medallas: 1
Nivel: Otro

Re: OMAlbum - Problema #A025

Mensaje sin leer por MRP »

Spoiler: mostrar
Primero sumo la cantidad de partidos disputados
19+18+17+...1 =190 partidos
luego la cantidad de puntos obtenidos entre todos
1x57 =57
9 x 38=342
9x11=99
1x0=0
total 498puntos
en cada partido se pueden obtener solo 2(empate) o 3(1 ganador) puntos
si todos los 190 partidos hubieran sido empate se obtendrian 190x2= 380 puntos
para llegar a los 498 me faltan (498-380)118puntos que tienen que ser los que no fueron empate
y quedaria
118 x 3 =354 + 72 x 2 =144 que suman los 498 puntos obtenidos por todos los equipos en los 190 partidos del torneo.
Por lo tanto hubo 72 empates
2  
Genericool
Mensajes: 16
Registrado: Mié 05 Ago, 2020 9:28 am
Nivel: Exolímpico

Re: OMAlbum - Problema #A025

Mensaje sin leer por Genericool »

En el torneo del problema, los equipos acumularon $1 \times 57 + 9 \times 38 + 9 \times 11 + 1 \times 0 = 498$ puntos y se jugaron $\frac {20 \times 19} {2} = 190$ partidos en total.

Dividamos a los partidos en dos conjuntos disjuntos: $e$ (empates) y $v$ (victorias, o "no empates"). Los empates otorgan $2$ puntos (uno a cada equipo) y las victorias otorgan $3$ puntos (al ganador, el perdedor no se lleva nada). Con estas premisas, podemos expresarlo así:
\begin{align}
498 &= 3v + 2e \\
190 &= v + e \\
\end{align}
Resolvemos este sistema de ecuaciones de la manera que nos guste. Nos da $e = 72$ y $v = 118$.

Para completar la solución, chequeo que haya una combinación de resultados compatible con los datos. Una posibilidad es la siguiente:
  • Un equipo A que gane todo: $57p: 19v + 0e + 0d$
  • Un equipo Z que pierda todo: $0p: 0v + 0e + 19d$
A los restantes 18 equipos los dividimos en dos grupos, M y N.
  • Cada uno de los M pierde con A, gana a Z, gana a los de N y empatan entre ellos: $38p: 10v + 8e + 1d$
  • Cada uno de los N pierde con A, gana a Z, pierde con los de M y empatan entre ellos: $11p: 1v + 8e + 10d$
1  
Responder