OMAlbum - Problema #A025
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Este problema en el Archivo de Enunciados:
• Archivo de Enunciados • Listas de problemas • OMAlbum • Serie AOMAlbum - Problema #A025
En un torneo de fútbol participan $20$ equipos y cada equipo juega una vez contra cada uno de los restantes. Si un partido termina en empate, ambos equipos ganan $1$ punto; si no, el ganador gana $3$ puntos y el perdedor $0$ puntos.
Al finalizar el torneo hubo un equipo con $57$ puntos, nueve equipos con $38$ puntos, nueve equipos con $11$ puntos y un equipo con $0$ puntos.
¿Cuántos empates hubo en el torneo?
Al finalizar el torneo hubo un equipo con $57$ puntos, nueve equipos con $38$ puntos, nueve equipos con $11$ puntos y un equipo con $0$ puntos.
¿Cuántos empates hubo en el torneo?
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- Mensajes: 16
- Registrado: Mié 05 Ago, 2020 9:28 am
- Nivel: Exolímpico
Re: OMAlbum - Problema #A025
En el torneo del problema, los equipos acumularon $1 \times 57 + 9 \times 38 + 9 \times 11 + 1 \times 0 = 498$ puntos y se jugaron $\frac {20 \times 19} {2} = 190$ partidos en total.
Dividamos a los partidos en dos conjuntos disjuntos: $e$ (empates) y $v$ (victorias, o "no empates"). Los empates otorgan $2$ puntos (uno a cada equipo) y las victorias otorgan $3$ puntos (al ganador, el perdedor no se lleva nada). Con estas premisas, podemos expresarlo así:
\begin{align}
498 &= 3v + 2e \\
190 &= v + e \\
\end{align}
Resolvemos este sistema de ecuaciones de la manera que nos guste. Nos da $e = 72$ y $v = 118$.
Para completar la solución, chequeo que haya una combinación de resultados compatible con los datos. Una posibilidad es la siguiente:
Dividamos a los partidos en dos conjuntos disjuntos: $e$ (empates) y $v$ (victorias, o "no empates"). Los empates otorgan $2$ puntos (uno a cada equipo) y las victorias otorgan $3$ puntos (al ganador, el perdedor no se lleva nada). Con estas premisas, podemos expresarlo así:
\begin{align}
498 &= 3v + 2e \\
190 &= v + e \\
\end{align}
Resolvemos este sistema de ecuaciones de la manera que nos guste. Nos da $e = 72$ y $v = 118$.
Para completar la solución, chequeo que haya una combinación de resultados compatible con los datos. Una posibilidad es la siguiente:
- Un equipo A que gane todo: $57p: 19v + 0e + 0d$
- Un equipo Z que pierda todo: $0p: 0v + 0e + 19d$
- Cada uno de los M pierde con A, gana a Z, gana a los de N y empatan entre ellos: $38p: 10v + 8e + 1d$
- Cada uno de los N pierde con A, gana a Z, pierde con los de M y empatan entre ellos: $11p: 1v + 8e + 10d$