IGO 2015 - Nivel Medio - Problema 2

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Ianoni

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IGO 2015 - Nivel Medio - Problema 2

Mensaje sin leer por Ianoni » Mié 29 Jul, 2020 11:18 am

En el triángulo acutángulo $ABC$, $BH$ es la altura desde el vértice $B$. Los puntos $D$ y $E$ son
puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente. Supongamos que $F$ es el simétrico de $H$ con
respecto a $ED$. Demostrar que la recta $BF$ pasa por el circuncentro del triángulo $ABC$.

Ianoni

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Re: IGO 2015 - Nivel Medio - Problema 2

Mensaje sin leer por Ianoni » Mié 29 Jul, 2020 12:35 pm

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Sea $I$ la interseccion de la perpendicular a $AB$ trazada por $D$ (que es mediatriz ya que $D$ es punto medio $(*)$) con la recta $BF$, adema sea $\alpha = A\hat{B}H$ ,$\beta= H\hat{B}F$ , $\theta= C\hat{B}I$, ademas, llamamos $P$ la interseccion de $BH$ con $DE$

$ED \parallel CB$ porque $ED$ es base media del triangulo $ABC$, entonces, por angulos entre paralelas con estas $2$ tenemos que $D\hat{P}B = P\hat{B}C$ $(**)$, ademas, como $D$ es punto medio de $AB$ por la propiedad de la mediana en triangulo rectángulo, tenemos que $HD$ = $AD$ = $BD$, ademas como $F$ es el simetrico de $H$ respecto a la recta $ED$, esto signifca que $HD$ = $FD$, entonces existe una circunferencia que pasa por $A$,$H$, $F$, $B$, con centro $D$, entonces, por angulo central, $H\hat{D}F = 2H\hat{B}F = 2\beta$, entonces, por (**), $D\hat{H}B = \theta$, pero como $HD = DB$, entonces $\theta= \alpha$, ahora, como $I$ pertenece a la mediatriz de $AB$, el triangulo $AIB$ es isoceles, por lo tanto $I\hat{A}D = \beta + \alpha$, entonces $H\hat{A}I = 90 - 2 \alpha - \beta$, ahora si miramos el angulo $E\hat{D}I$, este vale $90 - 2 \alpha - \beta$, pero entonces el cuadrilátero $ADIE$ es ciclico, por lo tanto $A\hat{D}I + A\hat{E}I = 180$, pero $A\hat{D}I = 90$, entonces $A\hat{E}I = 90$, pero como $E$ es punto medio de $AC$, $EI$ es mediatriz, pero entonces por $(*)$, podemos afirmar que $I$ es el circuncentro del triangulo $ABC$ por pero como $I$ pertecene a la recta $BF$, $BF$ pasa por el circuncentro, que es lo que nos piden.
Última edición por Ianoni el Lun 03 Ago, 2020 8:10 am, editado 1 vez en total.

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Gianni De Rico

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Re: IGO 2015 - Nivel Medio - Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 29 Jul, 2020 5:07 pm

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Sea $O$ el circuncentro de $ABC$. Notemos que por la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo vale que $DA=DB=DH$, entonces $\angle DHA=\angle DAH$, por lo tanto $\angle DHE=180°-\angle DHA=180°-\angle DAH=180°-\angle DAE$, y por reflexión $\angle DFE=\angle DHE=180°-\angle DAE$, así que $ADFE$ es cíclico. Por ser mediatrices tenemos que $OD\perp AD$ y $OE\perp AE$, entonces $ADOE$ es cíclico. De esto tenemos que $ADFOE$ es cíclico, así que $\angle AFO=\angle ADO=90°$.
Ahora, por reflexión $DF=DH=DB=DA$, entonces $ABFH$ es cíclico ($D$ es circuncentro), por lo que $\angle AFB=\angle AHB=90°$.
Juntando las dos cosas tenemos que $\angle BFO=\angle AFB+\angle AFO=90°+90°=180°$, así que $BF$ pasa por $O$.
Queda Elegantemente Demostrado

NicolasC

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Re: IGO 2015 - Nivel Medio - Problema 2

Mensaje sin leer por NicolasC » Dom 02 Ago, 2020 10:19 pm

Ianoni escribió:
Mié 29 Jul, 2020 12:35 pm
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entonces, por angulo central, $H\hat{D}F = 2A\hat{B}F = 2\theta$.
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¿No debería ser $H\hat{D}F = 2H\hat{B}F = 2\beta$?
Si buscas un resultado distinto, no hagas siempre lo mismo

Ianoni

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Re: IGO 2015 - Nivel Medio - Problema 2

Mensaje sin leer por Ianoni » Lun 03 Ago, 2020 8:08 am

NicolasC escribió:
Dom 02 Ago, 2020 10:19 pm
Ianoni escribió:
Mié 29 Jul, 2020 12:35 pm
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entonces, por angulo central, $H\hat{D}F = 2A\hat{B}F = 2\theta$.
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¿No debería ser $H\hat{D}F = 2H\hat{B}F = 2\beta$?
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Si, lo tipié mal, ahí lo arreglo

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