Sea $n$ un entero positivo y $a$ un número real. Hallar todas las $n$-uplas $\left (x_1,\ldots ,x_n\right )$ de números reales que satisfacen el sitema de ecuaciones$$\sum \limits _{i=1}^{n} x_{i}^{k}=a^{k}$$para $k=1,\ldots ,n$.
La condición la traduciremos a lo siguiente: $\forall k\leq n$, $\overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}}x_i^k=\left(\overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}}x_i\right)^k$, ya que $a=\overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}}x_i$
Para $n\geq 4$, sean $t\leq n$ y $b,c$ fijos tales que $t=b+c$, y $t\equiv b\equiv c\equiv 0(2)$
Tenemos entonces lo siguiente:
$\overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}}x_i^t=\left(\overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}}x_i\right)^t=\left(\overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}}x_i\right)^{b+c}=\left(\overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}}x_i\right)^b\left(\overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}}x_i\right)^c=\left(\overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}}x_i^b\right)\left(\overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}}x_i^c\right)=\left(\overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}}x_i^t\right)+\left(\underset{\underset{i\neq j}{1\leq i,j\leq n}}{\Sigma}x_i^bx_j^c\right)\Longrightarrow \underset{\underset{i\neq j}{1\leq i,j\leq n}}{\Sigma}x_1^bx_2^c=0$.
Como $b\equiv c\equiv 0(2)$, cada término de la suma cíclica es mayor o igual a $0$, luego cada término debe ser igual a $0$. Si hubiese dos términos de la $n$-upla distintos de $0$, sean $x_s$ y $x_r$, entonces los términos $x_s^bx_r^c$ y $x_r^bx_s^c$ serían mayores que $0$, absurdo. Luego hay al menos $n-1$ términos iguales a $0$, con lo que el otro término será $a$.
Luego, para $n\geq 4$ tenemos válidas las permutaciones de $(a,0,0,...,0,0)$ como las únicas $n$-uplas válidas.
Para $n=1$ es trivial que la única $1$-upla válida es $(a)$
Veamos qué pasa para $n=2$.
$x_1^2=a^2-x_2^2=(a-x_2)(a+x_2)=x_1(a+x_2)$, luego o bien $x_1=0$ o $x_1=a+x_2$. Pero como $x_1=a-x_2$, esto implica que $x_2=0$. En ambos casos, el par es una permutación de $(a,0)$.
Veamos qué pasa para $n=3$.
Es claro que, a menos que sea $(0,0,0)$, hay dos números de la tríada cuya suma es distinta de $0$. Sean éstos WLOG $x_1$ y $x_2$.
$x_1^3+x_2^3+x_3^3=a^3\Longrightarrow (x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=(a-x_3)(a^2+ax_3+x_3^2)=(x_1+x_2)(a^2+ax_3+x_3^2)$
Asumamos $x_1+x_2\neq 0$, luego $x_1^2-x_1x_2+x_2^2=a^2+ax_3+x_3^2=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+(x_1+x_2+x_3)x_3+x_3^2$
$\Longrightarrow -x_1x_2=x_3^2+x_1x_3+x_2x_3+x_3^2+x_3^2\Longrightarrow -3x_3^2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{(x_1+x_2+x_3)^2-(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}{2}=\frac{a^2-a^2}{2}=0$
Luego, si $x_1\neq -x_2$, $x_3=0$
Nos queda que $x_1+x_2=a$ y $x_1^2+x_2^2=a^2$, que son las mismas condiciones que para $n=2$, luego $\{x_1, x_2\}=\{0,a\}$, y como también cumple que $x_1^3+x_2^3=a^3$, tenemos que para $n=3$ la única tríada válida es $(a,0,0)$.
Concluyendo, nos queda que, para $n\in\mathbb{N}$, $a\in\mathbb{R}$ la única $n$-upla que cumple es $(a,0,0,...,0,0)$.
