COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 1

[COFFEE]

Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $9f(x+y)=f(x)f(y)$ para todos $x, y\in \mathbb{R}$. Si $f(1)=3$, ¿cuánto vale $f(-f(1))$?

[COFFEE]

Solución Oficial:

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Como $f(1)=3$, queremos hallar el valor de $f(-3)$.
Reemplazamos $y=1$ y nos queda $9f(x+1)=3f(x)$, es decir, $3f(x+1)=f(x)$. Usando muchas veces esto obtenemos\begin{align*}f(-f(1)) & =f(-3) \\
& =3f(-2) \\
& =9f(-1) \\
& =27f(0) \\
& =81f(1) \\
& =81\cdot 3 \\
& =243,
\end{align*}y con eso estamos.

[oaf]

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Primero, remplazamos $x = 0$ $y = 0$, de esto nos queda:

$9f(0+0)=f(0)f(0)$

$9 f(0) = f(0)^2$

De acá, despejamos 2 posibles valores para $f(0)$ :

$f(0) = 0$ seria un valor, y el otro $f(0) = 9$

Entonces dividimos el problema en 2 casos :

$f(0) = 0$ :

Para este caso, veamos que como $f(1)=3$, si multiplicamos $-1$ en ambos lados de la ecuación nos queda que $-f(1)=-3$ $(1)$, teniendo esto en cuenta, remplacemos en la ecuación original $x=-3$, $y=0$, luego nos queda :

$9f(-3+0)=f(-3)f(0)$

$9f(-3)=f(-3)*0$

$9f(-3)=0$

$f(-3)=0$

Y por $(1)$ :

$f(−f(1))=0$

Entonces encontramos el valor que pide el enunciado para $f(0) = 0$, ahora pasemos al segundo caso $f(0) = 9$:

Remplacemos en la ecuación original del enunciado $y = - x$ :

Nos queda que $9f(x-x)=f(x)f(-x)$

$9f(0)=f(x)f(-x)$

$81=f(x)f(-x)$

Ahora remplazamos $x = f(1)$, de acá sale :

$81=f( f(1))f(- f(1))$

Pero, como el enunciado nos dice $f(1)=3$

$81=f(3)f(- f(1))$ , entonces terminando, solo tenemos que conseguir el valor de $f(3)$ y estamos, lo hacemos de la siguiente forma :

Veamos lo siguiente : Si remplazo $x=2$ $y=1$, obtenemos que $9f(2+1)=f(2)f(1)$

$9f(3)=f(2)f(1)$, entonces consigamos el valor de $f(2)$ :

Remplacemos $x=1 y=1$ en la ecuación original, obtenemos : $9f(1+1)=f(1)f(1)$

$9f(2)=f(1)f(1)$

Por enunciado $f(1)=3$,por lo que:

$9f(2)=3*3$

$9f(2) = 9$

$f(2) = 1$

Entonces remplazamos en $9f(3)=f(2)f(1)$ y obtenemos:

$9f(3)=1*3$

$f(3)=\frac{3}{9}$

Entonces finalizamos el problema remplazando :

$81=f(3)f(- f(1))$

$81=\frac{3}{9} f(- f(1))$, entonces si despejamos :

$ f(−f(1)) = 81\frac{9}{3} $

$ f(−f(1)) =243 $

Entonces encontramos los valores de $ f(−f(1))$ y el problema termino

[¿hola?]

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Sea $P(x;y): 9f(x+y)=f(x)f(y)$

$P(1;1): 9f(2)=f(1)f(1)=9 \rightarrow f(2)=1$ ya que $f(1)=3$

$P(2;2): 9f(4)=f(2)f(2)=1 \rightarrow f(4)=\frac{1}{9}$

$P(-3;4): 9f(1)=f(-3)f(4)=f(-3)\frac{1}{9} \rightarrow f(-3)=243$

O sea $f(-f(1))=243$

[Dauphineg]

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Como $f(1)=3\Rightarrow f(-f(1)))=f(-3)$ y esto sera lo que vamos a hallar.
Haciendo $x=0$; $y=1$ en la ecuación inicial tenemos $9.f(1)=f(0).f(1)\Rightarrow 9.3=f(0).3\Rightarrow f(0)=9$
Haciendo $x=1$; $y=1$ en la ecuación inicial tenemos $9.f(2)=f(1).f(1)\Rightarrow 9.f(2)=3.3\Rightarrow f(2)=1$
Haciendo $x=2$; $y=1$ en la ecuación inicial tenemos $9.f(3)=f(2).f(1)\Rightarrow 9.f(3)=1.3\Rightarrow f(3)=\frac{1}{3}$
Haciendo $x=3$; $y=-3$ en la ecuación inicial tenemos $9.f(0)=f(3).f(-3)\Rightarrow 9.9=\frac{1}{3}.f(-3)$
$\Rightarrow f(-3)=243$ y ya estamos

[MathIQ]

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Tomamos $x = y = 0$ y tenemos:
$9f(0) = f(0)^2$ $\Rightarrow$ $f(0) = 0$ o $f(0) = 9$
Caso $f(0) = 0$:
Si $y = 0$ en la ecuación inicial, tenemos:
$9f(x) = f(x)f(0)$
De donde,
$9f(x) = 0$
$f(x) = 0$ (1)
Si $x = 1$ en (1):
$f(1) = 0$, absurdo puesto que $f(1) = 3$.
Caso $f(0) = 9$
Si $y = 1$ en la ecuación inicial:
$9f(x + 1) = f(x)f(1)$
$9f(x + 1) = 3f(x)$
$f(x) = 3f(x + 1)$ (2)
Notemos que $f(-f(1)) = f(-3)$, puesto que $f(1) = 3$.
Usando (2) reiteradamente, llegamos a que:
$f(-3) = 3f(-2)$
$f(-2) = 3f(-1)$
$f(-1) = 3f(0)$
Pero como $f(0) = 9$, nos queda:
$f(-1) = 27$
$f(-2) = 3 . 27 = 81$
$f(-3) = 3 . 81 = 243$
Por último tenemos que $f(-f(1)) = 243$