Decimos que un entero positivo está lleno de cuadrados, si en su factorización todos los primos aparecen elevados a un exponente mayor que uno. Por ejemplo, $72=2^3\cdot 3^2$ está lleno de cuadrados y $18=2\cdot 3^2$ no lo está. Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n$ y $n+1$ están llenos de cuadrados.
Primero notemos que $8$ y $9$ son dos números consecutivos llenos de cuadrados (este es nuestro caso base). Por otro lado, notemos que si $\alpha$ es el exponente de un primo $p$ en $k$, claramente el exponente de $p$ en $mk$, con $m$ entero positivo, es como mínimo $\alpha$. Luego, producto de números llenos de cuadrados es lleno de cuadrados. Notemos ahora que el exponente de $p$ en $k^2$ es $2\alpha$, por lo que claramente es mayor que uno, por lo que cuadrados perfectos son llenos de cuadrados.
Ahora supongamos que $n$ es tal que es lleno de cuadrados y además $n+1$ también es lleno de cuadrados. Como $4,n,n+1$ son los tres llenos de cuadrados, entonces $4n(n+1)$ también lo es. Ahora notemos que $4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n)^2+2\cdot 2n\cdot 1+1^2=(2n+1)^2$, por lo que a partir de dos enteros positivos consecutivos llenos de cuadrados, logramos construirnos dos enteros positivos llenos de cuadrados consecutivos más. Luego, como ya probamos que existe al menos un par, queda demostrado que inductivamente podemos construirnos infinitos pares más.
Vamos a ver que existe una secuencia $a_1$, $a_2$, $a_3$,..., tal que si $n=a_i$ para algún $i$ entero positivo, entonces $n$ y $n+1$ están ambos llenos de cuadrados.
Observación 1: Si $a$ y $b$ están llenos de cuadrados, $ab$ también lo está. Demostración: Si un factor primo de $ab$ apareciese con exponente $1$, entonces tendría que aparecer con exponente $1$ en alguna de las factorizaciones de $a$ o $b$, pero esto es falso, por lo cual no existe tal factor primo, con lo que $ab$ está lleno de cuadrados.
Observación 2: $a^2$ siempre está lleno de cuadrados. Demostración: Todos los factores primos de $a^2$ están elevados a exponente par, por lo que ninguno puede ser $1$, por lo que está lleno de cuadrados.
Primero que nada, veamos que $a_1=8$ cumple, ya que $8=2^3$ y $9=3^2$ están llenos de cuadrados.
Ahora, vamos a definir $a_{k+1}=4a_k(a_k+1)$. Si $n=a_k$ cumpliese la condición (es decir si $a_k$ y $a_k+1$ estuviesen llenos de cuadrados), entonces $a_k(a_k+1)$ también estaría lleno de cuadrados, por la observación 1. Más aún, como $4=2^2$ está lleno de cuadrados, $4a_k(a_k+1)$ también lo estaría. Ahora bien, $4a_k(a_k+1)+1=(2a_k+1)^2$, que siempre está lleno de cuadrados, por la observación 2. Resumiendo, ambos $a_{k+1}$ y $a_{k+1}+1$ están llenos de cuadrados. Con esto se ve que si $a_k$ cumplía la condición, $a_{k+1}$ también la cumple.
Por inducción, resulta claro que todo $n=a_i$ cumple la condición del enunciado, por lo que efectivamente existen infinitos tales $n$, como queríamos probar.
[...]Ahora, vamos a definir $a_{k+1}=4a_k(a_k+1)$. [...]
Este mensaje está acá exclusivamente para resaltar la genialidad que implica aprovechar que sabemos que $n$ y $n+1$ están llenos de cuadrados para "generar" más números que satisfagan la proposición.
