Entrenamiento Cono 2018 P23

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Matías

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Entrenamiento Cono 2018 P23

Mensaje sin leer por Matías » Sab 11 Ago, 2018 4:50 pm

Dos circunferencias distintas $\omega_1$ y $\omega_2$ tales que ninguna contiene a la otra se cortan en $A$ y $B$. Sea $C$ un punto en $\omega_2$ ($C\neq A$ y $C\neq B$). Las rectas $CA$ y $CB$ cortan otra vez a $\omega_1$ en $F$ y $G$ respectivamente. Las tangentes a $\omega_1$ por $F$ y $G$ se cortan en $D$. Las rectas $AG$ y $BF$ se cortan en $E$. Probar que $C$, $D$ y $E$ son colineales.
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Gianni De Rico

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P23

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 11 Ago, 2018 5:58 pm

Solución con dualidad:
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Sea $I=FG\cap AB$. Por Brokard $CE$ es la polar de $I$ respecto a $\omega _1$, pero $D$ es el polo de $FG$, por lo que está en la polar de $I$ (Teorema de La Hire). Se sigue que $C$, $D$, $E$ son colineales.
Solución:
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Vamos a usar el Teorema de Pascal, y siempre escribimos al hexágono como $A_1B_2A_3B_1A_2B_3$. Además, llamamos $PP$ a la tangente a la circunferencia por el punto $P$ (con esta notación, $D=FF\cap GG$).
Por Pascal en $FFAGGB$ tenemos que $D=FF\cap GG$, $C=FA\cap GB$ y $E=AG\cap BF$ están alineados.
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Monazo

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P23

Mensaje sin leer por Monazo » Lun 09 Mar, 2020 4:58 pm

Matías V5 escribió:
Vie 21 Feb, 2020 7:36 pm
Por un mundo con menos nombres y más ideas!
Este mensaje me llegó al corazón.

Solución
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Utilizaremos la notación $()$ para referirnos a la circunscripta.

La idea para resolver este problema básicamente es trazar la circunscripta de $AEF$ y $BEG$. Al ser $ABGF$ cíclico, por potencia en un punto se cumple que $CA\cdot CF = CB\cdot CG$, por lo que $C$ pertenece al eje radical de $(AEF)$ y $(BEG)$. Luego, al tener que $DF$ y $DG$ son tangentes a $(AFGB)$, obtenemos que $DF=DG$. Sean $K$ y $L$ los segundos puntos de intersección de $DF$ y $DG$ con $(AEF)$ y $(BEG)$ respectivamente. No es dificil demostrar que $DKL$ es isósceles en $D$, por lo que se conserva la potencia en un punto a ambas circunferencias y obtenemos que $D$ perteneces a su eje radical. Como $E$ es la intersección de ambas circunferencia, claramente pertenece al eje radical, y ganamos, los tres puntos perteneces a dicho eje radical, por lo que son colineales.
El Diego es del Lobo! Y del Lobo no se va!

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