Decimos que un número de cuatro cifras $abcd$, que comienza en $a$ y termina en $d$, es intercambiable si existe un entero $n>1$ tal que $n\cdot abcd $ es un número de cuatro cifras que comienza en $d$ y termina en $a$.
Por ejemplo, $1009$ es intercambiable ya que $9\cdot 1009=9081$. Hallar el mayor número intercambiable.
Para cada $n$, si $ n \times abcd$ es un numero de $4$ cifras entonces $abcd < \frac{10000}{n}$
Si $n=4$ entonces $abcd < 2500$. Luego $a$ es a lo sumo $2$. Si $a=2$ entonces la cifra de las unidades de $4 \times d$ tiene que ser $2$ para que el numero sea intercambiable y ademas $d>a$ pues $ n \times abcd >abcd$ y el primer digito de $ n \times abcd$ es $d$. El unico valor es $d=8$, para lo cual obtendria un numero de la forma $8xx2$. El maximo numero de esta forma es $8992$, de modo que $ 4 \times abcd \leq 8992$ ; $abcd \leq 2248$. Por lo tanto $2248$ es el maximo numero intercambiable si $n=4$. Falta verificar que es el mayor numero intercambiable para cualquier $n$.
Si $n\geq 5$ entonces $abcd < 2000$. Entonces no puede haber un numero intercambiable mayor a $2248$ si $n\geq 5$
Si $n=2$ entonces $abcd < 5000$. Luego $a$ es a lo sumo $4$
Si $a=4$ entonces la cifra de las unidades de $2 \times d$ tiene que ser $4$ para que el numero sea intercambiable y $d>a$. El unico valor es $d=7$ para lo cual obtendria un numero de la forma $7xx4$. Pero para el minimo valor de $abcd=4007$ ($ 2\times 4007=8014$) obtendria un valor superior a $7994$. Luego no hay solucion para $a=4$.
Si $a=3$ entonces la cifra de las unidades de $2 \times d$ tiene que ser $3$. Absurdo pues $2 \times d$ es par.
Si $a=2$ entonces la cifra de las unidades de $2 \times d$ tiene que ser $2$ para que el numero sea intercambiable y $d>a$ El unico valor es $d=6$ para lo cual obtendria un numero de la forma $6xx2$. Pero para el maximo valor de $abcd=2996$ ($ 2\times 2996=5992$) obtendria un valor inferior a $6002$. Luego no hay solucion para $a=2$.
Por lo tanto no hay numeros intercambiables mayores a $2248$ si $n=2$.
Si $n=3$ entonces $abcd < 3333.33$. Luego $a$ es a lo sumo $3$
Si $a=3$ entonces la cifra de las unidades de $3 \times d$ tiene que ser $3$ para que el numero sea intercambiable y $d>a$. No hay $d$ que verifique lo anterior.
Si $a=2$ entonces la cifra de las unidades de $3 \times d$ tiene que ser $2$ para que el numero sea intercambiable y $d>a$. El unico valor es $d=4$ para lo cual obtendria un numero de la forma $4xx2$. Pero para el minimo valor de $abcd=2004$ ($ 3\times 2004=6012$) obtendria un valor superior a $4002$. Luego no hay solucion para $a=2$.
Por lo tanto no hay numeros intercambiables mayores a $2248$ si $n=3$.
Finalmente se llega a que el mayor numero intercambiable es $2248$.