En el tablero de la figura, Joaco debe escribir $9$ enteros positivos distintos, uno en cada casilla, ordenados de menor a mayor (de izquierda a derecha), de manera que la suma de todos los números del tablero sea exactamente $2020$. ¿Cómo puede completar Joaco el tablero para que los números de las casillas sombreadas sumen lo menos posible? Mostrar un ejemplo para dicha cantidad, y explicar por qué no se puede obtener una suma menor.
p3ofo2020.png
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Sean $c_1 < c_2 < c_3 < c_4 < c_5 < c_6 < c_7 < c_8 < c_9$ los $9$ enteros positivos que se escriben en las casillas del tablero, en orden de izquierda a derecha. Notemos que la suma de las casillas sombreadas es $c_3 + c_6 + c_9$.
Sabemos que, como los números son enteros distintos, la diferencia entre dos enteros en posiciones consecutivas es al menos $1$, por lo que:
$$c_2 \leq c_3 - 1, \space \space \space c_5 \leq c_6 - 1, \space \space \space c_8 \leq c_9 - 1.$$
$$c_1 \leq c_2 - 1 \leq c_3 - 2, \space \space \space c_4 \leq c_5 - 1 \leq c_6 - 2, \space \space \space c_7 \leq c_8 - 1 \leq c_9 - 2.$$
y como el lado izquierdo vale $2020$ por enunciado, tenemos:
$$2020 \leq 3c_3 - 3 + 3c_6 - 3 + 3c_9 - 3.$$
Sumando $9$ a ambos lados y dividiendo ambos lados por $3$, tenemos entonces que:
$$\frac {2029}{3} \leq c_3 + c_6 + c_9.$$
Como $c_3$, $c_6$ y $c_9$ son enteros positivos, su suma es un entero positivo mayor o igual a $\frac {2029}{3}$. Como $\frac {2029}{3}$ no es entero, el menor valor que podría tomar la suma $c_3 + c_6 + c_9$ es el primer entero mayor a $\frac {2029}{3}$, que resulta ser $677$.
Para terminar la solución, nos falta entonces mostrar que $677$ es un valor alcanzable, es decir, que existe una forma de asignarle valores a las casillas del tablero de modo que se cumplan todas las condiciones del enunciado y la suma de las casillas sombreadas sea exactamente $677$.
Hay muuuchas formas de hacer esto último. Acá van un par de formas:
Para propósitos de la explicación, llamo $S$ a la suma de valores de casillas a la que se aspira.
Tengamos una fila de tres casillas tal que solo la última está sombreada. Si queremos repartir $S\equiv k \pmod 3$ y que la casilla sombreada tenga el menor valor posible, los números van a ser $\lfloor \frac{S}{3}\rfloor -1$, $\lfloor \frac{S}{3}\rfloor$, y $\lfloor \frac{S}{3}\rfloor+1+k$.
Agreguemos ahora una casilla sombreada más a la izquierda del todo. Para que se dé que las casillas sombreadas suman lo mismo, tenemos que necesariamente la primera va a valer $1$ y las tres últimas se van a repartir de acuerdo a $\lfloor \frac{S-1}{3}\rfloor$ en vez de $\lfloor \frac{S}{3}\rfloor$.
Agreguemos una casilla sin sombrear más. Vemos que para que la primera sombreada sea lo más baja posible, la primera blanca tiene que ser $1$ y la primera sombreada $2$, y así los valores de las últimas casillas ajustarse a $\lfloor \frac{S-3}{3}\rfloor$.
Extrapolando, para las $9$ casillas del enunciado con $S=2020$, la mejor disposición posible es $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $665$, $666$, y $668$, para una suma de $3+6+668=677$ para las casillas sombreadas.
