Entrenamiento Rio 2019 - Problema 15 - N2 y N3

[Monazo]

Hallar todas la ternas $(x,y,z)$ de enteros no negativos $x$, $y$, $z$ tales que $7^x=3^z-2^y$.

[drynshock]

Dios mío lo que me costo este problema

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Movemos todo a un lado:
$7^x - 3^z + 2^y = 0$

Vamos a pensar ese 0 como 42.0 para poder usar aritmética modular (el 42 sale de 7.3.2) por lo que vamos a considerar momentáneamente $x, y, z > 0$
$7^x - 3^z + 2^y \equiv 0(mod 42)$

Ahora vamos a calcular los restos mod 42 de 3 y 2 por separado (el 7 siempre tiene resto 7).

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Puede parecer tedioso pero en realidad es bastante fácil ya que por ejemplo: En el caso del 2, los restos van a ser las potencias de 2 hasta que nos pasemos de 42, es decir 2, 4, ..., 32 y 64. Luego hacemos 64-42=22, ahí tenemos el otro resto. Luego se empieza a repetir el patrón 2, 4, 8, ... y podemos asegurar que esos son todos.

$7^x \equiv 7(mod 42)$
$2^y \equiv 2, 4, 8, 16, 32, 22(mod 42)$
$3^z \equiv 3, 9, 27, 39, 33, 15(mod 42)$

Si miramos la ecuación $(7^x + 2^y) - 3^z= 0$ vemos que el $3^z$ es el único restando, por lo que la suma de restos de $7^x$ y $2^y$ debe ser igual al resto de $3^z$

Los únicos grupitos posibles son:
$(R_x;R_y;R_z) = (7, 2, 9) ; (7, 32, 39)$

Viendo los números que cumplen estas condiciones de restos llegamos a que:
$(x; y; z) = (1, 1, 2) ; (2, 5, 4)$

Y podemos asegurar que no hay mas ya que si el ciclo de restos se vuelve a repetir $7^x - 3^z + 2^y = r$ con $r \in$ $ \mathbb N$

PEROO recordemos que toda esta cuenta la habíamos hecho considerando que $x, y, z > 0$ entonces todavía nos falta considerar estos pocos casos.
A ojo vemos que $y \leq 0$.
Luego podemos sacar probando los ultimos dos casos:
$(x, y, z) = (0, 1, 1) ; (0, 3, 2)$


Juntando todo nos queda que existen 4 ternas las cuales son: $(x, y, z) = (0, 1, 1) ; (0, 3, 2) ; (1, 1, 2) ; (2, 5, 4)$