Para un número entero positivo $n$ denotamos $D_2(n)$ a la cantidad de divisores de $n$ que son cuadrados perfectos y $D_3(n)$ a la cantidad de divisores de $n$ que son cubos perfectos. Demostrar que existe $n$ tal que $D_2(n)=999D_3(n)$.
Nota. Los cuadrados perfectos son $1^2,2^2,3^2,4^2,\ldots$; los cubos perfectos son $1^3,2^3,3^3,4^3,\ldots$
Sea $p_1^{e_1}p_2^{e_2}\ldots p_x^{e_x}$ la factorización en primos de $n$. Para contar la cantidad de divisores de $n$ que son potencias $k$-ésimas, hay que contar todos los posibles exponentes de los primos que sean múltiplos de $k$. Pero sabemos que la cantidad de múltiplos de $k$ hasta un número $a$ es $\left \lfloor \frac{a}{k}\right \rfloor +1$. Entonces, la cantidad de divisores de $n$ que sean potencias $k$-ésimas es $\prod_{i=1}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{k}\right \rfloor +1\right )$. Por lo tanto, el problema se puede reformular como sigue:
"Demostrar que existen naturales $e_1,e_2,\ldots ,e_x$ tales que $\prod_{i=1}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{2}\right \rfloor +1\right )=999\prod_{i=1}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{3}\right \rfloor +1\right )$"
Tomemos entonces $\left \lfloor \frac{e_1}{2}\right \rfloor +1=999$, es decir, $e_1=(999-1)\times 2=1996$, por ejemplo. Nos queda $\left \lfloor \frac{e_1}{3}\right \rfloor +1=666$, por lo tanto, lo que hay que demostrar se transforma en
Sea $p_1^{e_1}p_2^{e_2}\ldots p_x^{e_x}$ la factorización en primos de $n$. Para contar la cantidad de divisores de $n$ que son potencias $k$-ésimas, hay que contar todos los posibles exponentes de los primos que sean múltiplos de $k$. Pero sabemos que la cantidad de múltiplos de $k$ hasta un número $a$ es $\left \lfloor \frac{a}{k}\right \rfloor +1$. Entonces, la cantidad de divisores de $n$ que sean potencias $k$-ésimas es $\prod_{i=1}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{k}\right \rfloor +1\right )$. Por lo tanto, el problema se puede reformular como sigue:
"Demostrar que existen naturales $e_1,e_2,\ldots ,e_x$ tales que $\prod_{i=1}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{2}\right \rfloor +1\right )=999\prod_{i=1}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{3}\right \rfloor +1\right )$"
Tomemos entonces $\left \lfloor \frac{e_1}{2}\right \rfloor +1=999$, es decir, $e_1=(999-1)\times 2=1996$, por ejemplo. Nos queda $\left \lfloor \frac{e_1}{3}\right \rfloor +1=666$, por lo tanto, lo que hay que demostrar se transforma en
San productorio... el día que aprenda qué es me voy a acordar de vos.
Una preguntita un poco trivial, ¿cómo es la factorización de los números que son potencias $k$-ésimas perfectas? Y si me podés tirar un dato además de Fermat, Fermat (The Last One) y que los cuadrados perfectos son de la forma $k^2$ y bien tienen una cantidad impar de divisores positivos, te lo agradecería.