Nacional 2001 - N1 P4

[BrunZo]

Pedro tiene un barril blanco con $55$ litros de aceite, el cual es una mezcla de soja y maíz, pero no sabe en qué proporciones, y un barril gris con $66$ litros de aceite, que también es mezcla de soja y maíz, pero tampoco sabe en qué proporciones, ni si estas son iguales o distintas que las del barril blanco. Quiere lograr que la proporción de aceite de maíz de la mezcla del barril blanco sea igual a la proporción de aceite de maíz de la mezcla del barril gris, utilizando un sola vez el siguiente procedimiento:

• quitar de los dos barriles iguales cantidades de aceite, que se guardan por un rato en dos recipientes vacíos; lo que se quita del barril blanco se coloca en un recipiente y lo que se quita del barril gris se coloca en el otro recipiente;
  agregar en el barril gris lo que se quitó del blanco y agregar en el barril blanco lo que se quitó del gris.
• Así, al finalizar el procedimiento, el barril blanco tendrá nuevamente $55$ litros y el gris tendrá $66$ litros.

Decidir si eligiendo apropiadamente la cantidad de litros de aceite que quitará de cada uno de los barriles, Pedro puede lograr con certeza su objetivo, es decir, que al final, en los dos barriles las proporciones de las mezclas sean las mismas.

[Peznerd]

Éste me lo llevo yo, si algo se me da bien son las fracciones

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Sin pérdida de genealralidad (ya que es análogo el caso para el maíz) llamamos $B$ a la cantidad de litros de soja en el barril blanco y $G$ la cantidad de litros dede soja en el barril gris.
Planteemos la situación límite donde $B = 55$ y $G = 0$. Llamamos $x$ a la cantidad de litros que Pedro sacará de cada barril para que las proporciones sean las mismas en ambos al final del procedimiento. El porcentaje de soja sobre el total del barril blanco es $\frac{B}{55} · 100 = \frac{55}{55} · 100$ % y el porcentaje de soja en el barril gris es de $\frac{G}{66} · 100 = \frac{0}{66} · 100$ %. Como queremos que las proporciones nuevas sean las mismas y dijimos que Pedro sacará $x$ litros de ambos barriles, al fin y al cabo lo que deseamos es que se cumpla:

$$\frac{55 - x}{55} = \frac {0+x}{66}$$
$$(66 - x)55=66x$$
$$3630-55x=66x$$
$$3630=66x + 55x = 121x$$
$$\frac{3630}{121} = 30 = x$$

Ahora veremos si ésto se cumple para todo $B=(0;55)$ y $G=(0;66)$
Si sacamos $30$ litros de cada barril, entonces sacamos $\frac{45,\widehat{45}}{100}$ de los litros del barril blanco del cual habrá $\frac{45,\widehat{45} · B}{100}$ litros de soja y de los $\frac{54,\widehat{54}}{100}$ litros sacados del barril gris habrá $\frac{54,\widehat{54} · G}{100}$ litros de soja.
Ahora bien, al final del procedimiento, si sólo vemos la soja, habrá en el barril blanco lo que no sacamos de este barril más lo que sacamos del barril gris, y en el barril gris habrá lo que no sacamos de este barril más lo que sacamos del barril blanco. Lo que no sacamos resulta ser el total menos lo que sacamos. Por lo tanto, al final del procedimiento habrá:
$\frac{45,\widehat{45}·B}{100} + \frac{45,\widehat{45}·G}{100}$ litros de soja en el barril blanco y
$\frac{54,\widehat{54}·G}{100} + \frac{54,\widehat{54}·B}{100}$ litros de soja en el barril gris
Por último, $x = 30$ cumple si y sólo si se verifica que la proporción final es la misma en ambos barriles. Para evaluarla, colocamos los respectivos totales de litros de cada barril multiplicando al denominador en la fracción obtenida por factor común de la cantidad de litros de soja. Verificamos:

$$\frac{45,\widehat{45} (B+G)}{55·100} = \frac{54,\widehat{54} (G+B)}{66·100}$$
$$\frac{45,\widehat{45}}{55}=\frac{54,\widehat{54}}{66}$$

(Ésto no es casualidad, puede verificarse con Regla de Tres Simple).
Rrspuesta: sip, con $x =30$.
Un dato de color es que siempre existe un $x$ para $B,G > 0$ y cualesquiera cantidades de litros positiva en los barriles. Así que podemos aplicar la resolución para algún problema de química.

[Évarist_Galois]

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Llamo $M_{1}$ y $M_{2}$ a la cantidad de litros de aceite de maiz en los barriles blanco y gris, respectivamente, y $C$ a la cantidad de litros de cada barril que separamos.

La proporción de aceite de maíz en un litro de acceite en los barriles blanco y gris es $\frac{M_{1}}{55}$ y $\frac{M_{2}}{66}$, en ese orden.

Como después de hacer los dos traspasos, las proporciones deben ser iguales, resulta que:

$$ \frac{M_{1}+C·M_{2}/66-C·M_{1}/55}{55}=\frac{M_{2}+C·M_{1}/55-C·M_{2}/66}{66}$$
A fin de que ambos miembros tengan el mismo denominador, los multiplico por 30 y resulta:
$$ \frac{6·M_{1}+C·M_{2}/11-6·C·M_{1}/55}{11}=\frac{5·M_{2}+C·M_{1}/11-5·C·M_{2}/66}{11}$$
Ahora, puedo cancelar los denominadores y queda:
$$ 6·M_{1}+C·M_{2}/11-6·C·M_{1}/55=5·M_{2}+C·M_{1}/11-5·C·M_{2}/66$$
Reorganizo los términos de la siguiente manera:
$$ 6·M_{1}-5·M_{2} =C·M_{1}/11-5·C·M_{2}/66-C·M_{2}/11+6·C·M_{1}/55$$
Extraigo factor común $C/11$ y reduzco
$$ 6·M_{1}-5·M_{2}=\frac{1}{11}·C·(\frac{11}{5}·M_{1}-\frac{11}{6}·M_{2}) $$
Distribuyo $\frac{1}{11}$
$$ 6·M_{1}-5·M_{2}=C·(\frac{M_{1}}{5}-\frac{M_{2}}{6}) $$
Extraigo denominador común
$$ 6·M_{1}-5·M_{2}=C·{\frac{6·M_{1}-5·M_{2}}{30}} $$
Despejo $C$
$$C=\frac{6·M_{1}-5·M_{2}}{\frac{6·M_{1}-5·M_{2}}{30}} $$
Finalmente, simplifico y resulta:
$$C=30$$