FOFO 9 años Problema 3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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3,14

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FOFO 9 años Problema 3

Mensaje sin leer por 3,14 » Jue 10 Oct, 2019 11:29 pm

Demostrar que para todo entero positivo $n>2$ los divisores primos del número
\begin{equation*}
(n^2-4)! + (n^2-3)! + (n^2-2)! + (n^2-1)!
\end{equation*}
son menores o iguales a $n^2+n-1$.

Aclaración: Se define el factorial de $n$ como $n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$, es decir, el producto de todos los números desde $1$ hasta $n$. Por ejemplo $4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$.
[math]

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Re: FOFO 9 años Problema 3

Mensaje sin leer por 3,14 » Dom 13 Oct, 2019 8:36 pm

Aquí vamos a publicar la solución oficial
[math]

HelcsnewsXD

FOFO 9 años - Mención Especial
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Re: FOFO 9 años Problema 3

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Mar 15 Oct, 2019 10:10 am

Spoiler: mostrar
Sabemos que el número es $(n-4)!+(n-3)!+(n-2)!+(n-1)! \Rightarrow $
$\Rightarrow (n-4)!\times [1+(n-3)+(n-3)(n-2)+(n-3)(n-2)(n-1)] \Rightarrow $
$\Rightarrow (n-4)!\times [1+n-3+(n-2)(n-3)(1+n-1)] \Rightarrow (n-4)!\times [(n-2)+(n-2)(n-3)n] \Rightarrow $
$\Rightarrow (n-4)!\times {(n-2)\times [1+n(n-3)] } \Rightarrow (n-4)!\times {(n-2)\times [1+n^{2}-3n] } \Rightarrow$
$\Rightarrow (n-4)!\times (n-2)\times (n^{2}-3n+1)$

Por esto, ya tenemos todos los factores que nos interesan y deberemos ver cada caso:
1) $(n-4)! \rightarrow$ Consideraremos el número más grande, $n-4 \Rightarrow$
$\Rightarrow n-4\leq n^{2}+n-1 \Rightarrow 0\leq n^{2}+3$, y como $n > 2$, consideramos el caso menor $\rightarrow$
$\rightarrow 0\leq 9+3=12$, cumpliéndose el caso

2) $n-2 \Rightarrow n-2\leq n^{2}+n-1 \Rightarrow 0\leq n^{2}+1 \Rightarrow$ Consideremos el caso menor $\rightarrow$
$\rightarrow 0\leq 9+1=10$

3) $n^{2}-3n+1 \Rightarrow n^{2}-3n+1\leq n^{2}+n-1 \Rightarrow 0\leq 4n-2 \Rightarrow$
$\Rightarrow$ Consideramos el caso menor $\rightarrow 0\leq 4\times 3 - 2 \rightarrow 0\leq 10$

Y así logra demostrarse lo enunciado por el problema

BrunZo

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Re: FOFO 9 años Problema 3

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 15 Oct, 2019 11:39 am

HelcsnewsXD escribió:
Mar 15 Oct, 2019 10:10 am
$(n-4)!+(n-3)!+(n-2)!+(n-1)!$
Spoiler: mostrar
Había que factorizar $(n^2-4)!+(n^2-3)!+(n^2-2)!+(n^2-1)!$, pero bue... :P
En ese caso, te quedaría
$$(n^2-4)!\cdots (n-2)\cdot (n^2-n-1)\cdot (n^2+n-1)$$
Y de esto se sigue.
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