IGO 2019 - Nivel Medio - P4

[BrunZo]

Sea $ABCD$ un paralelogramo y sea $K$ un punto en la recta $AD$ tal que $BK=AB$. Supongamos que $P$ es un punto arbitrario en $AB$, y la mediatriz de $PC$ intersecta al circuncírculo del triángulo $APD$ en los puntos $X$, $Y$. Probar que el circuncírculo del triángulo $ABK$ pasa por el ortocentro del triángulo $AXY$.

[Joacoini]

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Trazamos la perpendicular desde $A$ a $XY$, la cual corta a $DC$ en $E$, a la circunferencia $AKB$ en $H$ y a la circunferencia $APD$ en $H'$, si demostramos que $H'$ es la reflexión de $H$ por $XY$ por reflexiones del ortocentro estamos, esto es lo mismo que probar que el trapecio $HPCH'$ es isósceles.

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$APCE$ es un paralelogramo por lo que $AP=CE$ y por criterio $LAL$ los triángulos $BCE$ y $DAP$ son congruentes y $E\hat BC=P\hat DA$

$KBCD$ es un trapecio isósceles y
$E\hat HB=180-B\hat HA=B\hat KA=180-B\hat CE$
$BCEH$ es cíclico y $H'\hat HC=E\hat HC=E\hat BC$

Por otro lado $P\hat H'H=P\hat H' A=P\hat DA=E\hat BC=H'\hat HC$ y el trapecio $HPCH'$ es isósceles.