Por un lado, reescribimos cada término de la siguiente forma: $a_i=1+x_i$, con $x_i>-1$.
Reescribimos entonces la segunda ecuación como:
$(1+x_1)+2(1+x_2)+...+n(1+x_n)= \frac{n(n+1)}{2}$
De donde nos queda:
$1+x_1+2+2x_2+...+n+nx_n=\frac{n(n+1)}{2}+x_1+2x_2+...+nx_n$
Pero por enunciado sabíamos que esto era igual a $\frac{n(n+1)}{2}$, por lo que concluímos que $x_1+2x_2+...+nx_n=0$ $(1)$
Ahora nos trasladamos a la primera ecuación, y la reescribimos:
$(1+x_1)+(1+x_2)^2+...+(1+x_n)^n=n$
Pero cada término cumple las hipótesis necesarias para aplicar la Desigualdad de Bernoulli, por lo que podemos afirmar que $1+ix_i \leq (1+x_i)^i$ para los $i$ enteros positivos entre $1$ y $n$. Aplicando Bernoulli a cada término de nuestra primera ecuación reescrita nos queda:
$(1+x_1)+(1+2x_2)+...+(1+nx_n) \leq (1+x_1)+(1+x_2)^2+...+(1+x_n)^n=n$
Pero la primera parte puede ser reescrita como:
$(1+x_1)+(1+2x_2)+...+(1+nx_n)=n+x_1+2x_2+...+nx_n$, pero había un menor o igual que todavía no aplicamos en nuestra forma de reescribir... Nos queda entonces:
$(1+x_1)+(1+2x_2)+...+(1+nx_n)=n+x_1+2x_2+...+nx_n \leq (1+x_1)+(1+x_2)^2+...+(1+x_n)^n=n$
por lo que nos queda $n+x_1+2x_2+...+nx_n \leq n$, pero usando $(1)$ nos queda $n \leq n$, en el que claramente se da la igualdad... Pero entonces había igualdad en:
$(1+x_1)+(1+2x_2)+...+(1+nx_n) \leq (1+x_1)+(1+x_2)^2+...+(1+x_n)^n$, por lo que había igualdad en cada una una de las $n$ Desigualdades de Bernoulli que aplicamos, es decir, en cada una de las $1+ix_i \leq (1+x_i)^i$. Pero es una propiedad conocida de la Desigualdad de Bernoulli que en $1+nx \leq (1+x)^n$ la igualdad se obtiene si y solo si $x=0$ o $n=1$. Como claramente estamos trabajando con muchos exponentes mayores que $1$, entonces podemos afirmar que los $x_i$ son $0$ en todos los casos con $i$ mayor que $1$, por lo que $x_2=x_3=...=x_n=0$ (notemos que del caso con exponente $1$ no podemos deducir inmediatamente eso ya que la igualdad de Bernoulli se da sin importar el valor de $x$ si el exponente es $1$. Ahora bien, como $x_2=x_3=...=x_n=0$, reemplazando en $(1)$ nos termina quedando que $0=x_1+(2x_2+...+nx_n)=x_1$, con lo que $x_1$ también vale cero. Luego, tenemos que, como los $x_i$ valen cero, $a_i=1+x_i=1$ para todo $i$ entero positivo entre $1$ y $n$, con lo que para cada $n$, la única $n$-tupla $(a_1,...,a_n)$ que cumple es la $n$-tupla $(a_1,...,a_n)= (1,...,1)$ y estamos.
Vamos a reformular el problema de la siguiente forma:
Sean $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ reales positivos tales que $a_1+a_2+\cdots+a_n=n$. Demostrar que
$$a_1+2a_2^{1/2}+\cdots+na_n^{1/n}\leq \frac{n(n+1)}{2}$$
con caso de igualdad si y sólo si $a_1=a_2=\cdots=a_n=1$.
Y notemos que de esto se sigue que las únicas $n$-tuplas que cumplen son $a_1=a_2=\cdots=a_n=1$.
Tomemos enteros positivos $a_1$, $a_2$,..., $a_n$.
Hagamos el siguiente procedimiento: Repetidamente, tomamos el mayor y el menor de ellos y reemplazamos ambos por su promedio. Notemos dos cosas:
La suma de los números permanece invariante.
La diferencia entre el mayor y el menor número eventualmente decrece.
Por lo tanto, eventualmente, se obtendrá $a_1=a_2=\cdots=a_n=1$.
Vamos a demostrar que en cada paso de este procedimiento, el valor de $a_1+2a_2^{1/2}+\cdots+na_n^{1/n}$ aumenta:
Supongamos que $a_x=M$ es el mayor y $a_y=m$ es el menor de los $a_i$'s.
Entonces, los valores a comparar antes y después del cambio son
$$S=a_1+2a_2^{1/2}+\cdots+xM^{1/x}+\cdots+ym^{1/y}+\cdots+na_n^{1/n}$$
$$S'=a_1+2a_2^{1/2}+\cdots+x(M-t)^{1/x}+\cdots+y(m+t)^{1/y}+\cdots+na_n^{1/n}$$
donde $t=\frac{M-m}{2}$ (notar que $M-t=m+t$). De este modo
$$S'>S\Longleftrightarrow y(m+t)^{1/y}-ym^{1/y}>xM^{1/x}-x(M-t)^{1/x}$$
Considerando que $xM^{1/x}-x(M-t)^{1/x}$ es máximo cuando $x=1$, e $y(m+t)^{1/y}-ym^{1/y}$ es mínimo cuando $y=1$, tenemos que
$$t(m+t)^{1/y}-ym^{1/y}\geq xM^{1/x}-x(M-t)^{1/x}$$
con caso de igualdad en caso de que $x=y=1$, lo cual es imposible. Por lo que $S'>S$, como queríamos.
Entonces, como dijimos que eventualmente se llega a $a_1=a_2=\cdots=a_n=1$,
$$a_1+2a_2^{1/2}+\cdots+na_n^{1/n}\leq 1+2\cdot 1^{1/2}+\cdots+n\cdot 1^{1/n}=\frac{n(n+1)}{2}$$
y el caso de igualdad se obtiene cuando no hay que cambiar nada, osea $a_1=a_2=\cdots=a_n=1$, con lo que estamos.
Ahora a $(2)$ le restamos $(1)$.
$ (a_2-1)(a_2-1)+(a_3-1)(a_3^2+a_3+-2)+...+(a_n-1)(a_n^{n-1}+a_n^{n-2}+...+a_n-(n-1))=(a_2-1)^2+(a_3-1)^2(a_3+2)+...+(a_n-1)^2(a_n^{n-2}+2a_n^{n-3}+...+(n-2)a_n+(n-1))=0$
Notar que factorizo $x^{k-1}+x^{k-2}+...+x-(k-1)=(x-1)(x^{k-2}+2x^{k-3}+...+ix^{k-1-i}+...+(k-2)x+k-1)$
Si $x$ es un real positivo, $x^{k-2}+2x^{k-3}+...+ix^{k-1-i}+...+(k-2)x+k-1$ también, pero tenemos que una suma de cuadrados los cuales son reales no negativos multiplicados por reales positivos es $0$ por lo que cada cuadrado es $0$.
Para $i>1, a_i-1=0\Rightarrow a_i=1$, remplazando esto en la primera ecuación que nos dan $a_1+1+1+...+1=a_1+n-1=n\Rightarrow a_1=1$.
Por lo tanto si las restamos y pasamos los valores que estan restando a sumar obtenemos que:
$2a_2+...+na_n=\frac{n\times(n+1)}{2}-n+a_2^2+...+a_n^n$ entonces
$2a_2+...+na_n=\frac{n\times(n-1)}{2}+a_2^2+...+a_n^n$
$(i)$
Veamos ahora que por MA-MG:
$a_2^2+1\geq 2a_2$
$a_3^3+1+1\geq 3a_3$
...
$a_n^n+1+1...+1\geq na_n$ Entonces
$a_2^2+a_3^3+...+a_n^n+1+2...+n-1\geq 2a_2+...+na_n$
Por suma de Gauss:
$a_2^2+a_3^3+...+a_n^n+\frac{n\times(n-1)}{2}\geq 2a_2+...+na_n$
y la igualdad se da si y solo si se da la igualdad en cada una de las otras desigualdades, las cuales se dan si y solo si todos los elementos son iguales, que se ve claramente que se da si y solo si $a_2=a_3=...=a_n=1$
Por $i$, y por lo visto con las desigualdades: $a_2=a_3=...=a_n=1$
Basta sustituir esto en la primera ecuación para saber que $a_1=1$
Para verificar: $1+1+1...+1=n$
$n=n$
)