Uno con rectangulo para hacer cuentas

[ricarlos]

Sea $O$ un punto por fuera (pero en el plano) de un rectangulo $ABCD$.
Los lados del rectangulo cumplen la condicion $7BC=16AB$.
Ademas $OA=4$, $OB=3$ y $OC=5$. Calcular el area de $ABCD$.

[Gianni De Rico]

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Nuestro querido Pitágoras puede ayudarnos nuevamente. (?)

[DiegoLedesma]

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Nuestro querido Pitágoras puede ayudarnos nuevamente. (?)

Que no te engañe la terna 3,4,5.

[DiegoLedesma]

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Sea P(x,y) el punto del plano en que concurren los 3 segmentos dados. Supongamos que tenemos 3 circunferencias con centros en $A,B,C$ y radios $4,3 \; y \; 5$ respectivamente, y que $A=(0,0)$. Al armar las ecuaciones de la $2ª$ y $3º$ circunferencia, obtenemos respectivamente: $(x-AB)^{2}+y^{2}=9$; $(x-AB)^{2}+(y-\frac{16}{7}AB)^{2}=25$...Fácil es ver que $(y-\frac{16}{7}AB)^{2}>y^{2}$, por lo que se deduce que $y$ es un número negativo, con lo que $P(x,y)$ estará en el $4º$ cuadrante del plano. Al observar entonces el gráfico construido (siendo $E$ el punto de intersección entre las rectas $AB$ y $CP$), se tiene que $\bigtriangleup$ $EPA$ $\sim$ $\bigtriangleup$ $EBP$. Sea $AE=a$ $\Rightarrow$ $BE=a-AB$. Observando que la razón de semejanza entre los lados de ambos triángulos es $\frac{4}{3}$,tenemos el sistema {$EP=\frac{4}{3}(a-AB)$,$EP=\frac{3}{4}a$. Resolviendo dicho sistema, se llega a que: $a=\frac{16}{7}AB$; $EP=\frac{12}{7}AB$ $\Rightarrow$ $BE=\frac{9}{7}AB$. Por Pitágoras en $\bigtriangleup$ $BCE$, se obtiene $CE=\frac{\sqrt{337}}{7}AB$ $\Rightarrow$ $EP=5-\frac{\sqrt{337}}{7}AB$.
Construyendo las razones de semejanza entre $\bigtriangleup$ $EPA$ y $\bigtriangleup$ $EBP$ e igualando: $\frac{\frac{16}{7}AB}{4}$=$\frac{5-\frac{\sqrt{337}}{7}AB}{3}$, con lo que se obtiene $AB=\frac{35\sqrt{337}-420}{193}$.
$\therefore$ $Área \; ABCD=\frac{16}{7}\left (\frac{35\sqrt{337}-420}{193}\right)^{2}\approx3,038.$

[Gianni De Rico]

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Que no te engañe la terna 3,4,5.

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No es eso, mi solución usaba analítica para calcular las distancias y todo eso (no leí la tuya, pero creo que son parecidas), pero como la distancia entre dos puntos del plano cartesiano se calcula utilizando el Teorema de Pitágoras, con un poco de esfuerzo y ganas, puede traducirse una solución analítica a una que use casi exclusivamente el Teorema de Pitágoras.