Selectivo Cono Sur 2019 P1

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Matías V5

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Selectivo Cono Sur 2019 P1

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Alex hace las $365$ divisiones de $365$ por $1$, por $2$, por $3$, ..., por $365$, escribe los restos de estas divisiones en una lista y calcula la suma de los $365$ números de la lista. Luego Blas hace las $366$ divisiones de $366$ por $1$, por $2$, por $3$, ..., por $366$, escribe los restos de estas divisiones en una lista y calcula la suma de los $366$ números de la lista. Determinar cuál de los dos obtuvo una suma mayor y cuánta es la diferencia entre las dos sumas.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

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bruno
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Re: Selectivo Cono Sur 2019 P1

Mensaje sin leer por bruno »

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Sean $a_i$ los numeros de la lista de Alex donde el subindice es el divisor de la cuenta. De manera analoga defino los numeros de la lista de Blas como $b_i$.

Dado que $365$ y $366$ son enteros consecutivos entonces por aritmetica modular, si $i$ no es divisor de $366$ entonces $b_i=a_i+1$.

Los divisores propios de $366$ son $2,3,6,61,122$ y $183$. Y ademas como $365$ y $366$ son coprimos el unico divisor en comun es $1$. Por lo tanto puedo establecer las siguientes relaciones:

$a_{1}=0$
$a_{2}=1$
$a_{3}=2$
$a_{6}=5$ Todos los $b_i$ con estos subindices son $0$ pues $i$ es divisor de $366$. Ademas $b_{366}=0$ tambien.
$a_{61}=60$
$a_{122}=121$
$a_{183}=182$

Y para los demas $365-7=358$ restos en la lista de Alex se cumple $b_i=a_i+1$.

Entonces si llamo $\sum a_j$ a la sumatoria de los restos cuyos subindices no son divisores de $366$:

La suma de todos los numeros de Alex es $0+1+2+5+60+121+182+\sum a_j=371+\sum a_j$ y la suma de todos los numeros de Blas es $\sum a_j+358$.

Por lo tanto el que obtuvo una suma mayor es Alex y la difrencia entre las dos sumas es $371-358=13$
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MathIQ

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Re: Selectivo Cono Sur 2019 P1

Mensaje sin leer por MathIQ »

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Primero notemos que si $x\equiv n\pmod{m} \Leftrightarrow x + 1 \equiv n + 1\pmod{m}$ sí y solo sí $m$ no divide a $x + 1$ y $m$ no divide a $x$ ni a $x + 1$ al mismo tiempo.
Sabiendo esto podemos decir que si $365\equiv n\pmod{m} \Leftrightarrow 366\equiv n + 1\pmod{m}$.
Ahora veamos que $MCM(365, 366) = 1$, por ende buscaremos los divisores de $366$, los cuales son $1, 2, 3, 6, 61, 122, 183$ y $366$.
Notemos que si $x\equiv 0\pmod{m} \Leftrightarrow x - 1\equiv - 1\equiv m - 1\pmod{m}$, por lo tanto los restos de dividir a $365$ por estos números particulares serán $0, 1, 2, 5, 60, 121$ y $182$, los cuales suman $371$(no tenemos en cuenta a $366$, ya que $366 > 365$).
Por lo tanto ahora debemos ver que sucede con los demás números, veamos que nos quedan $358$ números, ya que descartamos $7$, por ende al hacer la división si en $365$ tenemos resto $x$ en $366$ tendremos resto $x + 1$
Por lo tanto tendremos que si $t$ es la suma de todos los restos de hacer todas estas divisiones a $365$, al hacerlas en $366$ tendremos un total de $t + 358$.
Pero veamos que al resto total $t$ obtenido al hacer estás divisiones a $365$ le tendremos que sumar los restos obtenidos anteriormente de los casos particulares, es decir, los $371$, por ende al hacer todas las divisiones a $365$, tendremos un resto total de $t + 371$, mientras que al hacer todas las divisiones a $366$ tendremos un resto total de $t + 358$, pero notemos que $t + 371 > t + 358$ y la diferencia es $13$.
Por lo tanto podemos afirmar que la suma de los restos obtenidos por Alex es mayor a la de Blas por $13$.
:D
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marcoalonzo

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Re: Selectivo Cono Sur 2019 P1

Mensaje sin leer por marcoalonzo »

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Es sabido que el resto $r$ de un entero $p$ en la división por otro entero $q$ distinto de $0$ es $r=p-q\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor$.
Sean $S_{365}$ y $S_{366}$ las sumas de Alex y Blas respectivamente.
Se tiene
\begin{align*}
S_{365}&=365-1\left\lfloor\frac{365}{1}\right\rfloor+ 365-2\left\lfloor\frac{365}{2}\right\rfloor+\ldots+ 365-365\left\lfloor\frac{365}{365}\right\rfloor\\
&=365^2-1\left\lfloor\frac{365}{1}\right\rfloor-2\left\lfloor\frac{365}{2}\right\rfloor-\ldots-365\left\lfloor\frac{365}{365}\right\rfloor\\
&=365^2-\left(1\left\lfloor\frac{365}{1}\right\rfloor+2\left\lfloor\frac{365}{2}\right\rfloor+\ldots+365\left\lfloor\frac{365}{365}\right\rfloor\right)
\end{align*}
y
\begin{align*}
S_{366}&=366-1\left\lfloor\frac{366}{1}\right\rfloor+ 366-2\left\lfloor\frac{366}{2}\right\rfloor+\ldots+ 366-366\left\lfloor\frac{366}{366}\right\rfloor\\
&=366^2-1\left\lfloor\frac{366}{1}\right\rfloor-2\left\lfloor\frac{366}{2}\right\rfloor-\ldots-366\left\lfloor\frac{366}{366}\right\rfloor\\
&=366^2-\left(1\left\lfloor\frac{366}{1}\right\rfloor+2\left\lfloor\frac{366}{2}\right\rfloor+\ldots+366\left\lfloor\frac{366}{366}\right\rfloor\right)
\end{align*}
Además, es un hecho conocido que
$$1\left\lfloor\frac{n}{1}\right\rfloor+ 2\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+\ldots+ n\left\lfloor\frac{n}{n}\right\rfloor=\sigma(1)+\sigma(2)+\ldots+\sigma(n)$$
Y al sustituir en $S_{365}$ y en $S_{366}$
\begin{align*}
S_{365}&=365^2-(\sigma(1)+\sigma(2)+\ldots+\sigma(365))\\
S_{366}&=366^2 -(\sigma(1)+\sigma(2)+\ldots+\sigma(365)+\sigma(366))\\
&=366^2 -(\sigma(1)+\sigma(2)+\ldots+\sigma(365))-\sigma(366)
\end{align*}
Y al restar $S_{365}$ y $S_{366}$ se obtiene $365^2-366^2+\sigma(366)=-731+744=13>0$, con lo cual la suma de Alex es mayor que la de Blas (ya que la resta es mayor que $0$) y la diferencia entre estas es $13$.
Y $\sigma(366)=744$ vale porque $366=2\cdot3\cdot61$, luego $\sigma(366)=\frac{2^{1+1}-1}{2-1} \frac{3^{1+1}-1}{3-1} \frac{61^{1+1}-1}{61-1}=744$.
3  
🔮oráculo y magia negra🔮
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