Intersecciones de un circulo y una elipse
Intersecciones de un circulo y una elipse
Mando un problemita que se me ocurrió a mí (¿quizás es conocido?):
Sea $\Gamma$ una elipse y $AB$, $CD$ dos cuerdas tales que las dos bisectrices de los ángulos comprendidos por $AB$ y $CD$ sean paralelas a los dos ejes de $\Gamma$. Demostrar que $A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos.
Sea $\Gamma$ una elipse y $AB$, $CD$ dos cuerdas tales que las dos bisectrices de los ángulos comprendidos por $AB$ y $CD$ sean paralelas a los dos ejes de $\Gamma$. Demostrar que $A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos.
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Gianni De Rico
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Re: Intersecciones de un circulo y una elipse
Si tenés paciencia para hacer las cuentas, con analítica sale. Aunque no viene mal un poco de tramposética en el medio.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Re: Intersecciones de un circulo y una elipse
Claro, pero las cuentas te quedan bastante engorrosas. No es indispensable usar analítica, hay una solución más o menos sintética. Por ejemplo, un paso crucial de la mía se basa en Es interesante intentar encontrar soluciones (relativamente) sintéticas a este tipo de problemas.Gianni De Rico escribió: ↑Dom 03 Mar, 2019 8:41 pm Si tenés paciencia para hacer las cuentas, con analítica sale. Aunque no viene mal un poco de tramposética en el medio.
Re: Intersecciones de un circulo y una elipse
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
Re: Intersecciones de un circulo y una elipse
Mi solución original es bastante similar a la de arriba, nada más que usa otra configuración para la aplicación de Apolonio, a saber
Más aún, agrego una demostración (un poco rebuscada) de (*), que fue la que hallé:
De todos modos, creo que hay soluciones algo más elementales que funcionan bien.
Re: Intersecciones de un circulo y una elipse
Un dato curioso sobre esto es que también funciona para las otras conicas, si en vez de ser una elipse fuera una hiperbola o una parábola también los puntos son conciclicos (en el caso de la parábola las bisectriz es serían una paralela al eje y la otra perpendicusar obviamente) pero se hace mas difícil demostrarlo ya que en estos casos la afinidad ayuda mucho y no existe afinidad para hiperbola ni parábola. Difícil si se intenta desde cero, si te ayudas de que para la elipse sí funciona, sale casi trivial.
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Re: Intersecciones de un circulo y una elipse
Ahora viéndolo bien, esto no sale trivial con el concepto de rectas antiparalelas?
Ah no, eso es sólo cuando las cuerdas AB y CD no se cortan
Ah no, eso es sólo cuando las cuerdas AB y CD no se cortan
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