No se como resolverlo

[Kekermanduro]

Necesito ayuda para resolver este problema ya que no tengo el conocimiento suficiente para resolverlo:
Un maquinista conduce un tren a 100 km/h, y se da cuenta que llegará con una hora de atraso a su destino. Decide aumentar la velocidad a 150 km/h y se da cuenta que llegará con una hora de anticipación a su destino. ¿A que hora debe de salir de la estación para llegar a su destino a tiempo? ¿que distancia recorre el maquinista?

[sebach]

Hola!
(aclaro al principio que la pregunta "A qué hora debe salir de la estación?" no la entiendo, no dice a qué velocidad va a ir (si es $150$ es obvio que debe esperar una hora y luego salir).
Ahora sí:

Fijate cómo traducir los datos del enunciado en algo un poco más "cuentoso":

Probemos primero qué pasaría en una situación en la que el maquinista debe llegar a su destino en 3 horas. Entonces, llegar con una hora de atraso significa tardar 4 horas, lo que significa que el destino está a 400 kilómetros. Pero entonces, yendo a $150 km/h$, tardaría $\dfrac{400 km}{150 km/h} = 2.666... h = 2h 40m$ , llegando solamente con $20$ minutos de anticipación.

Si en vez de probar con $3$, probamos algo genérico, digamos que debe llegar a su destino en $x$ horas, entonces hacemos lo mismo que antes pero en vez de $3$ usamos $x$: Tardaría $x+1$ horas yendo a $100 km/h$, entonces la distancia es $100*(x+1)$ kilómetros. Y sabemos que yendo a $150 km/h$ tardaría $x-1$ horas, por lo que el destinto está a $150*(x-1)$ kilómetros. Como estamos hablando del mismo destino, calculando la distancia de ambas maneras nos debe dar la misma distancia, entonces $100*(x+1) = 100*x + 100$ debe ser igual a $150*(x-1) = 150*x - 150$. Como es una igualdad, podemos restar $100*x$ en ambos números y seguirá valiendo la igualda, $100 = 50*x - 150$, y lo mismo si sumamos $150$ a cada lado: $250 = 50*x$, por lo que si dividimos por $50$ a cada lado, obtenemos que $5 = x$, es decir, debe llegar a su destinto en $5$ horas.

Podemos corroborar que entonces, si yendo a $100km/h$ tarda $6$ horas, el destino está a $600$ kilómetros, por lo que yendo a $150 km/h$ tardaría efectivamente $600/150 = $ horas, una menos que lo que debe.

Entonces la distancia vimos que es $600 km$.

[Fran5]

Supondré que la primer pregunta es "¿A qué velocidad debe salir el maquinista para llegar a tiempo?"

Recordemos que $v = \frac{d}{t}$, con lo cual, tenemos que si $t$ es el tiempo en el que el maquinista debe hacer su recorrido, obtenemos $$100 \frac{km}{h} = \frac{d \: km}{(t+1) \: h}, \qquad 150 \frac{km}{h} = \frac{d \: km}{(t-1) \: h}$$ En particular, la velocidad $v$ a la que debe salir verifica $v \frac{km}{h} = \frac{ d \: km}{t \: h}$

Como tenemos no tenemos el mismo tiempo $t$ en el denominador se nos hace complicado hacer las cuentas... pero observamos que el numerador es el mismo, $d$. Luego $$\frac{1}{100} = \frac{t+1}{d}, \qquad \frac{1}{150} = \frac{t+1}{d}, \qquad \frac{1}{v} = \frac{t}{d}$$.

Observando que $\frac{1}{100}+\frac{1}{150} = \frac{t+1+t-1}{d} = \frac{2t}{d} = 2 \frac{1}{v}$, obtenemos $$\frac{1}{v} = \frac{\frac{1}{100}+\frac{1}{150}}{2} = \frac{\frac{3+2}{300}}{2} =\frac{5}{600}$$

Finalmente $v = \frac{600}{5} = 120$, con lo cual el maquinista debe salir a $120 \frac{km}{h}$ para llegar a tiempo

[ricarlos]

Para mi entender el maquinista esta conduciendo un tren a 100km/h y, en un determinado momento, (no especifica cuando) el decide cambiar la marcha. Por eso creo que el problema esta mal planteado o le faltan datos.