Maratón de Problemas de Geometría

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 19 Feb, 2019 5:21 pm

Monazo escribió:
Mar 19 Feb, 2019 4:51 pm
Perdón, pero subí un apunte de Simetría Central y la tengo que mandar jajaja.

Solución 99
Spoiler: mostrar
Sea $E'$ el reflejo de $E$ con respecto a $C$, y $E'_2$ el reflejo de $E$ con respecto a $B$.
Notemos que:
1) Dado que $C$ es punto medio de $BD$ y de $AE'$ (por propiedades de reflexión), entonces $ACE'D$ es paralelogramo, con $AD=BE'$ y $DE'\parallel AB$. (sus diagonales se cortan en punto medio).

2) Dado que $\frac{EB}{BE'_2}=\frac{EA}{AE'}=1$, por Thales, $DE'_2\parallel AB$. Esto implica que $D$, $E'$ y $E'_2$ son colineales.

Luego notemos que $EB=BE'_2=BE'$, por mediana correspondiente a hipotenusa $\angle AE'E'_2=90$. Como $E'E_2\parallel AB$, tenemos que $\angle E'AB=\angle CAB=90$

Seguro que pusiste bien los nombres de los puntos? Porque el dibujo no me queda.
De todas formas, no tengo nada para proponer ahora mismo, así que podés subir uno vos si querés.
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Monazo

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Monazo » Mar 19 Feb, 2019 6:09 pm

Gianni De Rico escribió:
Mar 19 Feb, 2019 5:21 pm
Monazo escribió:
Mar 19 Feb, 2019 4:51 pm
Perdón, pero subí un apunte de Simetría Central y la tengo que mandar jajaja.

Solución 99
Spoiler: mostrar
Sea $E'$ el reflejo de $E$ con respecto a $C$, y $E'_2$ el reflejo de $E$ con respecto a $B$.
Notemos que:
1) Dado que $C$ es punto medio de $BD$ y de $AE'$ (por propiedades de reflexión), entonces $ACE'D$ es paralelogramo, con $AD=BE'$ y $DE'\parallel AB$. (sus diagonales se cortan en punto medio).

2) Dado que $\frac{EB}{BE'_2}=\frac{EA}{AE'}=1$, por Thales, $DE'_2\parallel AB$. Esto implica que $D$, $E'$ y $E'_2$ son colineales.

Luego notemos que $EB=BE'_2=BE'$, por mediana correspondiente a hipotenusa $\angle AE'E'_2=90$. Como $E'E_2\parallel AB$, tenemos que $\angle E'AB=\angle CAB=90$

Seguro que pusiste bien los nombres de los puntos? Porque el dibujo no me queda.
De todas formas, no tengo nada para proponer ahora mismo, así que podés subir uno vos si querés.
Tenes razón jajajaja, está todo mal, ahi te marco las modificaciones:
$E'$ en realidad debería ser $A'$, porque es el simétrico de $A$ respecto de $C$.
El paralelogramo en realidad es $ABA'D$

Ahora lo modifico!
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Monazo

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Monazo » Mié 20 Feb, 2019 10:58 am

Problema 100

Sea una semicircunferencia con diámetro $AB$ y centro $O$, y sea una recta que corta a la semicircunferencia en los puntos $C$ y $D$, y a la recta $AB$ en el punto $M$ (siendo $MD<MC$ y $MB<MA$). Sea $K$ la segunda intersección de las circunferencia $OAC$ y $OBD$. Demostrar que $\angle MKO=90$.
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jujumas

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por jujumas » Mié 20 Feb, 2019 3:25 pm

Solución 100:
Spoiler: mostrar
Sean $K_1$ y $M_1$ los inversos de $K$ y $M$ respectívamente respecto a la circunferencia de diametro $AB$, notemos que $K_1$ es la intersección de las rectas $AC$ y $BD$ y $M_1$ es la intersección de $AB$ y la circunscrita de $COD$.

Notemos ahora que $C$ y $D$ son pies de las alturas $BC$ y $AD$ del triángulo $ABK_1$, ya que $AB$ es diametro, y como $O$ es punto medio de $AB$, la circunscrita de $COD$ es el nine-point-circle de $ABK_1$. Luego, $M_1$ es pie de altura $K_1M_1$ y $\angle OM_1K_1 = 90^{\circ}$, por lo que $\angle OKM = 90^{\circ}$.
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jujumas

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por jujumas » Mié 20 Feb, 2019 3:40 pm

Problema 101:

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle ABC > \angle ACB$. Dos puntos distintos $X$ e $Y$ en la recta $AC$ cumplen que $\angle XBA = \angle YBA = \angle ACB$ y que $A$ se encuentra entre $X$ y $C$. Supongamos que existe un punto $D$ interior al segmento $BY$ tal que $BX=DX$. La recta $AD$ vuelve a cortar al circuncírculo de $ABC$ en $Z$. Demostrar que $YB=YZ$.

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Joacoini

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Joacoini » Mié 20 Feb, 2019 4:02 pm

Saludos, tu puntaje en el problema 100 es de 7 puntos, felicitaciones, solo hay una corrección.
jujumas escribió:
Mié 20 Feb, 2019 3:25 pm
Spoiler: mostrar
nine-point-circle
Spoiler: mostrar
No seas tan careta.
7  
NO HAY ANÁLISIS.

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BrunoDS

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por BrunoDS » Jue 21 Feb, 2019 9:00 pm

Solución 101
Spoiler: mostrar
Como $\alpha=\angle ABY=\angle ACB$, tenemos que: $AB²=AY\times AC$. Además, como $\alpha=\angle ACB =\angle AZB=\angle ABD$, tenemos que $AB²=AD\times AZ$, de donde $AB²=AY\times AC=AD\times AZ$ y entonces $DZCY$ es cíclico.

Como $\alpha=\angle ACB=\angle ABX$, tenemos, por ángulos semi-inscriptos, que $XB$ es tangente al circuncírculo de $ABC$, por lo que: $XD²=XB²=XA\times XC$. Así obtenemos que $\angle XDA=\angle XCD=\beta=\angle YZD$, esto último por arco capaz en $DZCY$.

Entonces, $\angle ADB= \angle XDB +\angle XDA= \angle XBD +\angle XDA= 2\alpha+\beta=\angle YDZ$. Luego: $\angle YCZ=180°-2\alpha-\beta \Rightarrow \angle DCZ= 180°-2\alpha-2\beta= \angle DYZ=\angle BYZ$.

Por lo tanto: $\angle YBZ=180°- (180°-2\alpha-2\beta)-(\alpha+\beta)=\alpha+\beta= \angle YZB$, por lo que $YB=YZ$, como queríamos.
Proponé otro vos Jujumas.

P.D.:
Spoiler: mostrar
Quiero mi abrazo
#JujumasLaburáMás
1  
"No se olviden de entregar la prueba antes de irse..."

jujumas

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por jujumas » Vie 22 Feb, 2019 4:48 pm

Problema 102:

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $D$ el punto donde la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ corta al circuncírculo de $ABC$, y sean $E$ y $F$ los puntos medios de $AC$ y $AB$ respectívamente. Supongamos que existe un punto $X$ interior a $ABC$ tal que $XA=XB$ y $AEXD$ es cíclico, y supongamos que existe un punto $Y$ interior a $ABC$ tal que $YA=YC$ y $AFYD$ es cíclico.

Demostrar que el punto de intersección de las rectas $FE$ y $XY$ es equidistante de $A$ y $D$.
Última edición por jujumas el Vie 22 Feb, 2019 6:10 pm, editado 1 vez en total.

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 22 Feb, 2019 6:08 pm

jujumas escribió:
Vie 22 Feb, 2019 4:48 pm
$YA=YB$
No debería ser $YA=YC$?
Queda Elegantemente Demostrado

jujumas

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por jujumas » Vie 22 Feb, 2019 6:10 pm

Gianni De Rico escribió:
Vie 22 Feb, 2019 6:08 pm
jujumas escribió:
Vie 22 Feb, 2019 4:48 pm
$YA=YB$
No debería ser $YA=YC$?
Arrreglado :D

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