Maratón de Problemas
Re: Maratón de Problemas
Problema $328$
Encontrar una pareja $(a,b)$ de enteros positivos disntintos tales que ninguna de las parejas $(a,b)$, $(a+1,b+1)$, $\dots$, $(a+2019,b+2019)$ sean coprimos.
Encontrar una pareja $(a,b)$ de enteros positivos disntintos tales que ninguna de las parejas $(a,b)$, $(a+1,b+1)$, $\dots$, $(a+2019,b+2019)$ sean coprimos.
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Re: Maratón de Problemas
Problema 329
Se tiene un tablero con forma de triángulo equilátero de lado $2019$ dividido en $2019^2$ casillas, cada una de las cuales es un triángulo equilátero de lado $1$.
Un zafiro es una ficha que ocupa exactamente dos casillas del tablero con un lado en común.
Tres jugadores, Fulvio, Franco y Francesco, juegan por turnos. Fulvio comienza el juego (luego juega Franco, luego Francesco, luego nuevamente Fulvio, y así sucesivamente). En cada turno, el jugador correspondiente coloca un zafiro en el tablero, de modo que ocupe dos casillas que se encuentren vacías. El jugador que en su turno no puede colocar ningún zafiro pierde el juego y los otros dos ganan. Demostrar que Franco y Francesco pueden idear conjuntamente una estrategia que les asegure la victoria a ambos, sin importar como juegue Fulvio.
Se tiene un tablero con forma de triángulo equilátero de lado $2019$ dividido en $2019^2$ casillas, cada una de las cuales es un triángulo equilátero de lado $1$.
Un zafiro es una ficha que ocupa exactamente dos casillas del tablero con un lado en común.
Tres jugadores, Fulvio, Franco y Francesco, juegan por turnos. Fulvio comienza el juego (luego juega Franco, luego Francesco, luego nuevamente Fulvio, y así sucesivamente). En cada turno, el jugador correspondiente coloca un zafiro en el tablero, de modo que ocupe dos casillas que se encuentren vacías. El jugador que en su turno no puede colocar ningún zafiro pierde el juego y los otros dos ganan. Demostrar que Franco y Francesco pueden idear conjuntamente una estrategia que les asegure la victoria a ambos, sin importar como juegue Fulvio.
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas
Alguien dijo "lagunas de primos"?
Solución 329
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas
Problema 330
En una competencia de matemática hay $2018$ participantes, al terminar la competencia, cada participante le cuenta a otros $1009$ competidores cómo resolvió alguno de los problemas de la competencia. Demostrar que existen dos participantes $A$ y $B$ tales que $A$ le contó a $B$ cómo resolvió un problema y $B$ le contó a $A$ cómo resolvió un problema.
Aclaración: Todos los participantes resolvieron al menos un problema.
En una competencia de matemática hay $2018$ participantes, al terminar la competencia, cada participante le cuenta a otros $1009$ competidores cómo resolvió alguno de los problemas de la competencia. Demostrar que existen dos participantes $A$ y $B$ tales que $A$ le contó a $B$ cómo resolvió un problema y $B$ le contó a $A$ cómo resolvió un problema.
Aclaración: Todos los participantes resolvieron al menos un problema.
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Re: Maratón de Problemas
Problema 331
En un torneo de Tenis, hay $16$ jugadores, y en ese torneo se jugaron un total de $55$ partidos (en un partido juega un jugador contra otro). Demostrar que existen $3$ jugadores tales que ninguno de ellos jugó entre sí.
En un torneo de Tenis, hay $16$ jugadores, y en ese torneo se jugaron un total de $55$ partidos (en un partido juega un jugador contra otro). Demostrar que existen $3$ jugadores tales que ninguno de ellos jugó entre sí.
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Fran5
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Re: Maratón de Problemas
solución 331. No es lo más lindo... pero ahí va
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
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Fran5
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Re: Maratón de Problemas
Problema 332e
En la fábrica de sustos Monsters Incorporated, cada uno de los monstruos asustadores tiene un código de identificación único que consite en un número natural, el cual le asigna el numero de la puerta por la cual va hacia las habitaciones de los niños.
Se sabe que para cualesquiera dos monstruos diferentes con códigos $a$ y $b$, entonces existe un tercero con código $c$ tal que los tres números $a,b,c$ son coprimos.
Además, también se sabe que existe otro monstruo que tiene el código $a+b$.
Demostrar que existe un mónstruo con código $N$ tal que para todo $n>N$ también hay otro monstruo con código $n$ en la fábrica.
En la fábrica de sustos Monsters Incorporated, cada uno de los monstruos asustadores tiene un código de identificación único que consite en un número natural, el cual le asigna el numero de la puerta por la cual va hacia las habitaciones de los niños.
Se sabe que para cualesquiera dos monstruos diferentes con códigos $a$ y $b$, entonces existe un tercero con código $c$ tal que los tres números $a,b,c$ son coprimos.
Además, también se sabe que existe otro monstruo que tiene el código $a+b$.
Demostrar que existe un mónstruo con código $N$ tal que para todo $n>N$ también hay otro monstruo con código $n$ en la fábrica.
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