Sel Ibero 1993 Problema 2
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Se consideran todas las ternas de números reales positivos que verifican $\frac{1}{3}\le xy+yz+zx\le 3$.
- Describir el conjunto de todos los valores que toma $xyz$.
- Describir el conjunto de todos los valores que toma $x+y+z$.
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Fran5
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Re: Sel Ibero 1993 Problema 2
Última edición por Fran5 el Mié 26 Mar, 2014 1:17 pm, editado 5 veces en total.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
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Re: Sel Ibero 1993 Problema 2
Hola Fran5 creo que hay un error en tu solución,
en esta parte
entonces $(x+y+z) \geq \sqrt{3}$
por otra parte no veo por que esto
Agradezco a quienes me puedan absolver las dudas.
en esta parte
$(x+y+z)^2 \geq3(xy+yz+zx) \geq {3}$
entonces $(x+y+z) \geq \sqrt{3}$
por otra parte no veo por que esto
implica que $c$ no tiene cota superiorFran5 escribió: ↑Mar 25 Mar, 2014 12:08 pm $c$ no tiene cota superior, pues poniendo $x=c-2e;y=z=e$ es posible definir $e>0$ de la forma
$2(c-2e)e+e^2=p \Rightarrow 3e^2-2ce+p=0 \Rightarrow e=\frac{2c+\sqrt{\Delta}}{6}$
Y su discriminante es $\Delta = 4c^2-12p$
Donde, si $p = \frac{1}{3}$ se tiene que $\Delta$ es no-negativo para todo $c \geq 1$
Agradezco a quienes me puedan absolver las dudas.
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Gianni De Rico
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Re: Sel Ibero 1993 Problema 2
Ojo, fijate que por el enunciado $xy+yz+zx\geqslant \frac{1}{3}$ es decir que tu desigualdad resulta $(x+y+z)^2\geqslant 3(xy+yz+zx)\geqslant 3\cdot \frac{1}{3}=1$, y poniendo $x=y=z=\frac{1}{3}$ tenés $x+y+z=1$ y $xy+yz+zx=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$
Fijate que con los valores que él le da a $x,y,z$ tenés $xy+yz+zx=(c-2e)e+e^2+(c-2e)e=2(c-2e)e+e^2=p$, es decir que $\frac{1}{3}\leqslant p\leqslant 3$, porque $p$ es la cuenta que nos da el enunciado. De ahí despeja una fórmula para $e$, entonces lo que dice básicamente es que podemos poner $e$ tan grande como queramos (y de la fórmula se deduce que cuanto más grande sea $e$, también lo será $c$), dejando fijo $p=\frac{1}{3}$ (que es un valor permitido) y yendo para atrás despejar $c$ (porque $p=\frac{1}{3}$ y $e$ tiene un valor fijo que nosotros le asignamos) y así obtener un $c$ tan grande como quiera.maguas escribió: ↑Vie 11 Ene, 2019 1:24 pm por otra parte no veo por que estoimplica que $c$ no tiene cota superiorFran5 escribió: ↑Mar 25 Mar, 2014 12:08 pm $c$ no tiene cota superior, pues poniendo $x=c-2e;y=z=e$ es posible definir $e>0$ de la forma
$2(c-2e)e+e^2=p \Rightarrow 3e^2-2ce+p=0 \Rightarrow e=\frac{2c+\sqrt{\Delta}}{6}$
Y su discriminante es $\Delta = 4c^2-12p$
Donde, si $p = \frac{1}{3}$ se tiene que $\Delta$ es no-negativo para todo $c \geq 1$
Algunos ejemplos para que se entienda mejor:
Poniendo $e=1$ te queda $\frac{1}{3}=p=2(c-2e)e+e^2=2(c-2\cdot 1)\cdot 1+1^2=2c-4-1=2c-3$, de donde $c=\frac{5}{3}\approx 1,67$.
Poniendo $e=37$ te queda $\frac{1}{3}=p=2(c-2e)e+e^2=2(c-2\cdot 37)\cdot 37+37^2=74c-4107$, de donde $c=\frac{6161}{111}\approx 55,5$
Poniendo $e=12345$ te queda $\frac{1}{3}=p=2(c-2e)e+e^2=2(c-2\cdot 12345)\cdot 12345+12345^2=24690c-457197075$, de donde $c=\frac{685795613}{37035}\approx 18517,5$
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Re: Sel Ibero 1993 Problema 2
Gracias Gianni,
había visto $xy+yz+zx⩾1$ ( me estoy quedando ciego)
con respecto a la segunda pregunta me quedo todo claro.
Gracias nuevamente.
había visto $xy+yz+zx⩾1$ ( me estoy quedando ciego)
con respecto a la segunda pregunta me quedo todo claro.
Gracias nuevamente.
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Gianni De Rico
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