Regional 2018 N2 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Reflexion
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Regional 2018 N2 P1

Mensaje sin leer por Reflexion »

Se tiene un tablero de $2$ filas y $99$ columnas con dos casillas negras, como en la figura. En las casillas blancas de este tablero están escritas en la primera fila, todos los números enteros desde $1$ hasta $99$ en orden creciente de izquierda a derecha, y en la segunda fila, todos los números enteros desde $100$ hasta $196$, en orden creciente de derecha a izquierda.

Imagen

Se consideran las $97$ parejas de números que están en una misma columna, uno arriba del otro.
Determinar todas las parejas en las que el número de la segunda fila es múltiplo del número de la primera fila.
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Reflexion
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Re: Regional 2018 N2 P1

Mensaje sin leer por Reflexion »

Ya que no lo subían :P
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BrunoDS

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Re: Regional 2018 N2 P1

Mensaje sin leer por BrunoDS »

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Notemos que la suma de cada pareja es siempre igual a $198$, ya que los números de la primera fila van aumentando en $1$ y los números de la segunda fila van disminuyendo en $1$, de izquierda a derecha, y la primera pareja suma: $2+196=198$.

Sea $k$ un número de la primera fila, con $2\le k\le 98$. El número correspondiente a su pareja es entonces: $198-k$. Luego, queremos que:

$k\mid198-k \Leftrightarrow k\mid 198$.

Entonces $k$ debe ser un divisor de $198$, que son $12$, sabiendo que la factorización única en primos de $198$ es: $198=2×3^2×11$. De estos, sólo nos importa los que son mayores o iguales que $2$ y menores o iguales que $98$.

Por lo tanto, todos los posibles valores de $k$ son los siguientes $9$ (con sus respectivas parejas $198-k$):

$k\in \{2,3,6,9,11,18,22,33,66\}$

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"No se olviden de entregar la prueba antes de irse..."
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DiegoLedesma
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Re: Regional 2018 N2 P1

Mensaje sin leer por DiegoLedesma »

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Sabiendo que $a\mid b$ $\Leftrightarrow$ $a\mid (b-a)$, y aplicado a este problema:
$x\mid (198-x)$ $\Rightarrow$ $x\mid 198$. Siendo $198=2.3^{^2}.11$, generamos todas las posibilidades (teniendo en cuenta que $2\leq x\leq 98$), por lo tanto $x=\left \{ 2,3,6,9,11,18,22,33,66,99 \right \}$. Luego sabiendo que la suma de ambas filas es $198$, las parejas $(x,y)$ que cumplen lo pedido, son 9: (2,196),(3,195),(6,192),(9,189),(11,187),(18,180),(22,176),(33,165) y (66,132).
Carpcho
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Re: Regional 2018 N2 P1

Mensaje sin leer por Carpcho »

DiegoLedesma escribió: Sab 15 Sep, 2018 9:14 pm
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Sabiendo que $a\mid b$ $\Leftrightarrow$ $a\mid (b-a)$, y aplicado a este problema:
$x\mid (198-x)$ $\Rightarrow$ $x\mid 198$. Siendo $198=2.3^{^2}.11$, generamos todas las posibilidades (teniendo en cuenta que $2\leq x\leq 98$), por lo tanto $x=\left \{ 2,3,6,9,11,18,22,33,66,99 \right \}$. Luego sabiendo que la suma de ambas filas es $198$, las parejas $(x,y)$ que cumplen lo pedido, son 9: (2,196),(3,195),(6,192),(9,189),(11,187),(18,180),(22,176),(33,165) y (66,132).
¿Qué sería
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$a\mid b$ $\Leftrightarrow$ $a\mid (b-a)$
? ¿Hay algún foro que lo explique?
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FelipeGigena

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Re: Regional 2018 N2 P1

Mensaje sin leer por FelipeGigena »

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Sea $k$ un número de la primer fila:

Notemos que la pareja de $k$ se puede escribir como $198 - k$. Si $k$ divide a $198 - k$ (que es lo que estamos buscando) podemos escribir lo siguiente:

$$198 - k = kx$$
$$198 = kx + k$$
$$198 = k(x + 1)$$

Cómo $k$ es un entero, tenemos que $k | 198$, por lo que los números que estamos buscando son divisores de $198$. Entonces:

$$D_{198} = \{1;2;3;6;9;11;18;22;33;66;99;198\}$$

Tenemos que $1 < k < 99$, por lo que podemos descartar el $1, 99, 198$. Ahora basta con formar las parejitas:

$$\{2, 196\}$$
$$\{3, 195\}$$
$$\{6, 192\}$$
$$\{9, 189\}$$
$$\{11, 187\}$$
$$\{18, 180\}$$
$$\{22, 176\}$$
$$\{33, 165\}$$
$$\{66, 136\}$$

Y estamos!
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Ulis7s

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Re: Regional 2018 N2 P1

Mensaje sin leer por Ulis7s »

$Resolucion:$
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Veamos que dado un número $a$ en la fila $1$, sucederá que en su respectiva columna en la fila $2$ se escribirá $198-a$ luego $a$ divide a $198-a$ por lo tanto a divide a $198$ luego los pares $(a,198-a)$ que cumplen que $a divide a $198$ son $(1,197),(2,196),(3,195),(6,192),(9,181),(11,187),(18,160),(22,176),(33,165),(66,132),(99,99)$ dónde descartamos el primero y el último ya que no tienen pareja en la segunda columna
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