Sea $ABCD$ un cuadrado de lado $2$. Sea $E$ el punto medio del lado $CD$ y consideramos $F$ en el lado $BC$ tal que $D\widehat AE=E\widehat AF$. Calcular la longitud del segmento $CF$.
Pero de todas formas vamos con la solución linda:
Sea $G$ el pie de la perpendicular desde $E$ a $AF$, luego $\angle GAE=\angle FAE=\angle DAE$, $\angle EGA=90^\circ =\angle EDA$ y $AE=AE$. Por lo tanto $\triangle EGA\equiv \triangle EDA\Rightarrow EG=ED=EC$. Notemos que $ADEG$ y $ECFG$ son cíclicos pues $\angle EDA=\angle EGA=\angle ECF=\angle EGF=90^\circ$. Poniendo $\angle GAE=\alpha$ tenemos $\angle GAD=\angle GAE+\angle EAD=\alpha +\alpha =2\alpha$, por lo que $\angle CEG=2\alpha\Rightarrow \angle CFG=180^\circ -2\alpha$. Pero como $EC=EG$ entonces $FE$ es bisectriz de $\angle CFG\Rightarrow \angle CFE=90^\circ -\alpha \Rightarrow \angle FEC=\alpha$, por lo que $\triangle CEF\simeq \triangle DA\Rightarrow CF=\frac{CE\cdot ED}{AD}$. Como $AD=2$, tenemos $CE=ED=1$, y por lo tanto queda demostrado que $CF=\frac{1}{2}$.
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Yo usé trigonometría porque no llegaba con el tiempo... aproximando el valor de los ángulos (usé sólo grados y minutos) me terminó dando 0,54 el segmento CF, me lo contarán como bien igual?
Es claro que los triangulos $DEG$ y $ECF$ son congruentes, esto sucede por tener los lados paralelos y un lado correspondiente igual $(DE=EC)$.
Pero entonces en el triangulo $AGF$, tenemos que como $GE=EF$, la bisectriz de $GAF$ es a su vez mediana, por lo tanto $AE \perp FG$,
Por angulos llegamos a que $\angle{FEC}=180-90-\angle{AED}=90-\angle{AED}=\angle{EAD}$ , luego $EFC$ es semejante a $ADE$ y respeta su relación entre lados correspondientes, por lo tanto $\frac{FC}{CE}=\frac{ED}{AD}=\frac{1}{2}$
Julian_Ferres escribió: ↑Vie 14 Sep, 2018 12:22 pm
Sin trigonometría
Leíste mi solución? Porque el comentario antes del spoiler era un chiste que surgió en la resolución. Uso solamente cosas lindas como cíclicos y semejanza para resolver el problema.
Como $E$ es punto medio y $CD=2$ entonces $DE=CE=1$, luego $\angle EAF=\angle DAE=\arctan \frac{1}{2}$. Como los ángulos de un cuadrado miden $90^\circ$, resulta $\angle BAF=90^\circ -\angle EAF-\angle DAE=90^\circ -2\cdot \arctan \frac{1}{2}$. Ahora, $\tan \angle BAF=\frac{BF}{BA}=\frac{BF}{2}$, por lo tanto, llamando $k=\arctan \frac{1}{2}$ (para acortar la notación) resulta\begin{align*}BF & =2\cdot \tan (90^\circ -2k) \\
& =\frac{2}{\tan (2k)} \\
& =\frac{1-\tan ^2k}{\tan k} \\
& =\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} \\
& =\frac{3}{2},
\end{align*}usando que $\tan k=\frac{1}{2}$ al ser $k=\arctan \frac{1}{2}$. Finalmente, $CF=BC-BF=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.