Sea [math]ABC un triángulo acutángulo con alturas [math]AD, [math]BE y [math]CF, y sea [math]O el centro de su circunferencia circunscrita. Demostrar que los segmentos [math]OA, [math]OF, [math]OB, [math]OD, [math]OC, [math]OE dividen al triángulo [math]ABC en tres pares de triángulos de igual área.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore! Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Vamos a probar que [math]\triangle OAF y [math]\triangle ODC tienen igual área, de donde salen otras dos relaciones análogas y así sigue lo pedido.
Sea [math]H el ortocentro de [math]\triangle ABC y [math]M,N los puntos medios de [math]BC y [math]AB respectivamente. Por un lema conocido, tenemos que [math]OM = 2AH y [math]ON = 2CH. Notemos que [math]\triangle AFH y [math]\triangle CDH son semejantes, por lo tanto [math]\dfrac{AH}{CH} = \dfrac{AF}{CD}. Eso implica, multiplicando cruzado y reemplazando la información del lema, que [math]\dfrac{OM\times CD}{2} = \dfrac{ON\times AF}{2}. Pero eso es precisamente [math](ODC) = (OAF). Y estamos [math]\blacksquare
Vamos a probar que $△OAF$ y $△ODC$ tienen igual área, de donde salen otras dos relaciones análogas y así sigue lo pedido.
$A(x)$ hace referencía al area de $x$
Llamamos $G$ a la altura desde $D$ a $\overline{CO}$ y $H$ a la altura desde $F$ a $\overline{AO}$
Nombramos $B\widehat{A}C=\alpha$ y $A\widehat{C}B=\gamma$ por lo tanto, $B\widehat{O}C=2\alpha$, $O\widehat{C}B=90-\alpha$, $G\widehat{D}C=\alpha$, $B\widehat{O}A=2\gamma$, $O\widehat{A}B=90-\gamma$, $H\widehat{F}A=\gamma$
Aplicando coseno en $△CAF$ obtenemos qué $\overline{AF}=Cos(\alpha)AC$ y aplicando coseno en $△OAF$ obtenemos qué $\overline{HF}=Cos(\gamma)AF=Cos(\gamma)Cos(\alpha)AC$
Aplicando coseno en $△CAD$ obtenemos qué $\overline{CD}=Cos(\gamma)AC$ y aplicando coseno en $△OCD$ obtenemos qué $\overline{DG}=Cos(\alpha)CD=Cos(\gamma)Cos(\alpha)AC$
Sean $\overline{OC}=\overline{OA}=r$, luego $A(△ODC)=\frac{OC\times DG}{2}=\frac{r\times Cos(\gamma)Cos(\alpha)AC}{2}$ y $A(△OFA)=\frac{OA\times FH}{2}=\frac{r\times Cos(\gamma)Cos(\alpha)AC}{2}$ por lo tanto $A(△ODC)=A(△OAF)$
Vamos a probar que $\triangle OAF$ y $\triangle ODC$ tienen igual área, de donde salen otras dos relaciones análogas y así sigue lo pedido.
Sean $H$ el ortocentro de $\triangle ABC$, $M$ el punto medio de $BC$ y $N$ el punto medio de $AB$. Como $H$ y $O$ son conjugados isogonales tenemos $\frac{OM}{ON}=\frac{HF}{HD}$, pero como $\angle HDC=90^\circ =\angle HFA$ y $\angle AHF=\angle CHD$ por opuestos por el vértice, resulta $\triangle HFA\simeq \triangle HDC\Rightarrow \frac{HF}{HD}=\frac{AF}{CD}$. Por lo tanto $\frac{OM}{ON}=\frac{AF}{CD}\Rightarrow OM\cdot CD=ON\cdot AF\Rightarrow \frac{OM\cdot CD}{2}=\frac{ON\cdot AF}{2}\Rightarrow (ODC)=(OAF)$. Queda demostrado el problema.
