Provincial 2018 - Nivel 2 - Problema 3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Monazo

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Provincial 2018 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por Monazo »

En un paralelogramo $ABCD$ de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$, sean $E$ el punto medio del lado $AD$ y $F$ en el segmento $CE$ tal que $BF$ es perpendicular a $CE$. Si $AB=CD=5$ y $BC=AD=9$, calcular la medida de $AF$.
Soy una Estufa en Piloto
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AgustinChenna.

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Re: Provincial 2018 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por AgustinChenna. »

Hace cuanto no subo una solución (?)
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Sea $G$ la intersección de la prolongación de $CE$ y $BA$. Como $BC // AE$ y $BC = 2 AE$ entonces $AE$ es base media de $BCG$ y por lo tanto $AG = AB = 5$.

Luego, el triángulo $GFB$ es rectángulo, $F$ el ángulo recto y $A$ punto medio de la hipotenusa, por lo que $AF$ es la mediana correspondiente a la hipotenusa del triángulo y, por lo tanto, $AF = AB = 5$.

(Remito la demostración de eso a https://omaforos.com.ar/viewtopic.php?t=1036)
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ChaChaCha

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Re: Provincial 2018 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por ChaChaCha »

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Llamemos $M$ al punto medio de $BC$. Como $AD=BC$ y $AD$ es paralela a $BC$, $AB=EM=5$.
Por mediana correspondiente a la hipotenusa en el triángulo $BFM$, $BM=MC=MF=4,5$. Ahora, llamemos $\alpha$ al ángulo $D\widehat{E}C$. Por ángulos entre paralelas, $D\widehat{E}C$$=$$E\widehat{C}B$$=$$\alpha$, y como $MF=MC$, $E\widehat{C}B$$=$$M\widehat{F}C$$=$$\alpha$. Ahora, $A\widehat{E}F$$=180-$$D \widehat{E}C$$=180-$$\alpha$, y $E\widehat{F}M$$=180-$$M\widehat{F}C$$=180-$$\alpha$. Por lo tanto, $A\widehat{E}F$$=$$E\widehat{F}M$. Por lo tanto, por LAL, llegamos a que los triángulos $AEF$ y $EFM$ son congruentes, ya que $AE=FM=4,5$, $EF=EF$ y $A\widehat{E}F$$=$$E\widehat{F}M$. Entonces, $AF=EM=5$.
La solución está completa.
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Gianni De Rico

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Re: Provincial 2018 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Una solución no estresante que me contaron
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Provincial 2018 N2 P3.png
Sea $G$ el punto medio de $BC$, luego $BG=GC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=AE$ de donde $ABGE$ y $AGCE$ son paralelogramos. Del primer paralelogramo obtenemos $EG=AB$, del segundo obtenemos $AG\parallel EF$. Ahora por la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo tenemos $GF=GC=AE$, por lo tanto o bien $AEFG$ es un rectángulo ($F$ coincide con $C$) o es un trapecio isósceles, en cualquier caso $AF=EG=AB$. En este problema $AB=5$ y por lo tanto queda demostrado que $AF=5$.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
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Laura Imhoff
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[duplicado] problema 3 de OMA Provinciales2018 nivel 2

Mensaje sin leer por Laura Imhoff »

Dado el paralelograno ABCD, de lados AB,BC,CD y AD, sean E el punto medio del lado AD y F en el segmento CE tal que BF es perpendicular a CE. Si AB=CD= 5 y BC=AD=9. Calcula AF?
AYUDA PORFA
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joa.fernandez

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Re: problema 3 de OMA Provinciales2018 nivel 2

Mensaje sin leer por joa.fernandez »

Rotohomotecias como estilo de vida
Laura Imhoff
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Re: problema 3 de OMA Provinciales2018 nivel 2

Mensaje sin leer por Laura Imhoff »

Gracias por las soluciones ;)
Peznerd
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Re: Provincial 2018 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por Peznerd »

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Gianni De Rico escribió: Lun 27 Ago, 2018 7:17 pm Una solución no estresante que me contaron
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Sea $G$ el punto medio de $BC$, luego $BG=GC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=AE$ de donde $ABGE$ y $AGCE$ son paralelogramos. Del primer paralelogramo obtenemos $EG=AB$, del segundo obtenemos $AG\parallel EF$. Ahora por la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo tenemos $GF=GC=AE$, por lo tanto o bien $AEFG$ es un rectángulo ($F$ coincide con $C$) o es un trapecio isósceles, en cualquier caso $AF=EG=AB$. En este problema $AB=5$ y por lo tanto queda demostrado que $AF=5$.
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Buenísima, pero no sé de dónde sacaste la aplicación de la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo, no veo ningún triángulo rectángulo! Ayudita :?
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

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drynshock

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Re: Provincial 2018 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por drynshock »

Los nacionales de nivel 3 me están rompiendo el or... así que vuelvo acá:
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Sea $C'$ la intersección de la prolongación de $EC$ y la prolongación de $AB$. Luego por ángulos opuestos por el vértice y ángulos entre paralelas, los triángulos $EDC$ y $EAC'$ son semejantes, y gracias a que $AE = ED$ entonces los triángulos son congruentes, de lo que concluimos que $AC' = 5$.

Como $C'A = AB = 5$ y $AF$ es mediana de un triangulo rectángulo, concluimos que $AF = 5$.
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
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