Entrenamiento Cono 2018 P35

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Joacoini

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Entrenamiento Cono 2018 P35

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 17 Ago, 2018 11:21 pm

Ana y Beto juegan un juego en una grilla rectangular de $2×n$ ($n\geq 2$) cuyos lados de longitud $2$ se han pegado formando un cilindro. Alternando movidas cada jugador recorta un casillero de la grilla. Un jugador pierde si su movida provoca que el cilindro pierda conexión circular (dos casillas que sólo se tocan en una esquina se consideran desconectadas). Supongamos que Ana comienza el juego. ¿Cual de los jugadores tiene una estrategia ganadora?
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Luli97

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P35

Mensaje sin leer por Luli97 » Mar 07 Abr, 2020 1:24 pm

Spoiler: mostrar
Ana hace su primera jugada en algún lugar de la grilla, recortando algún casillero de la grilla, una vez que esto sucede hay tres casillas que no pueden ser recortadas para que el cilindro no pierda la conexión:
celdasafectadas.PNG
Es decir, que ahora podemos pensar que estamos jugando en un tablero de $2 \times (n-1)$ al que le faltan las dos esquinas superiores (o inferiores), y comienza Beto.

Si $n-1$ es impar, Beto puede sacar alguna de las casillas centrales de manera que el tablero quede dividido en dos partes iguales.
impar.PNG
Luego, en cada jugada Ana recorta un casillero de alguno de los tableros y Beto copia su jugada, recortando el mismo casillero pero del otro tablero. Como una vez terminada cada jugada de Beto ambos tableros quedan iguales, Beto se asegura que si Ana pudo jugar en un tablero, él podrá jugar en el otro y así vemos que Beto tiene la estrategia ganadora, en el caso $n$ par.

Si $n-1$ es par, Beto debe elegir jugar en alguna de las dos mitades del tablero y lo que hará Ana es copiar "en espejo" respecto del centro del tablero la jugada de Beto.
par.PNG
Es importante observar que esto no desconecta el cilindro, incluso cuando Beto juegue alguna de las casillas centrales (es decir las que tiene como lados la línea roja central), Ana jugará en la de al lado, por lo tanto, solo agrandará el agujero. Como mencionamos en el caso anterior, con esta estrategia Ana se asegura que cada vez que Beto juegue, ella podrá copiar su jugada en la otra mitad del tablero y, por lo tanto, cuando $n$ es impar, Ana tiene la estrategia ganadora.
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