Entrenamiento Cono 2018 P13

[Matías]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB\geq CD$. Sobre el segmento $AB$ se escogen puntos $E$ y $F$ y sobre el segmento $CD$ se escogen puntos $G$ y $H$ tales que $AE=BF=CG=DH<\frac{AB}{2}$.
Sean $P$, $Q$ y $R$ los puntos medios de $EG$, $FH$ y $CD$ respectivamente. Se sabe que $PR$ es paralelo a $AD$ y $QR$ es paralelo a $BC$.
a) Demostrar que $ABCD$ es un trapecio.
b) Sea $d$ la diferencia de las longitudes de los lados paralelos. Demostrar que $2\times PQ\leq d$.

[ricarlos]

Spoiler: mostrar

El punto $R$ es tambien punto medio de $HG$ luego $PR$ y $QR$ son bases medias de los triangulos $EHG$ y $FGH$, respectivamente. Es decir $PR\parallel EH$ y $QR\parallel FG$ que, a su vez, $AD\parallel EH$ asi como $BC\parallel FG$.
Tenemos entonces que en el cuadrilatero ADHE (BCGF) hay dos lados paralelos y los otros dos congruentes, luego solo caben dos casos:

caso 1) es un paralelogramo.
caso 2) es un trapecio isosceles.

En ambos casos tendriamos que $ABCD$ es un trapecio con lo cual la demostracion a) se cumple solo que en el

caso 1) $AB\parallel CD$.
caso 2) $AD\parallel BC$.

En cuanto al punto b), es conocida la propiedad en los trapecios donde si $d' = (base mayor - base menor)$ se tiene que la distancia entre los puntos medios de las diagonales es igual a $d'/2$. En ambos casos (1 o 2) $FGHE$ tambien es un trapecio y $PQ$ es la distancia entre los puntos medios de las diagonales pero al imponerse que $EF <AB$ asi como $GH<DC$ tenemos que $PQ < d/2$ o $2PQ < d$.