Si al comenzar el juego está la secuencia $ABABABAABAAB$, hallar la menor cantidad de letras que pueden haber en el juego en cualquier momento y explicar por qué no pueden haber menos.
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.
veamos que Ababa puede obtener una palabra de 2 letras de la siguiente forma:
ABABABAABAAB [math]\to BAAABABAABAAB [math]\to BBABAABAAB [math]\to ABAABAAB [math]\to BAAAABAAB [math]\to BABAAB [math]\to BBAAAAB [math]\to BBAB [math]\to AB
Ahora veamos que necesariamente debe haber al menos un A y al menos un B en cualquier palabra a la que pueda llegar Ababa,con lo que tendríamos lo pedido
Llamemos jugada 1,2 y 3 a las posibles jugadas de Ababa en el orden en el que aparecen en el problema
(1)Hay al menos un B:
Veamos que al realizar la jugada 1 o 3 no cambia la cantidad de B's ,y que al realizar la jugada 2 la cantidad de B's disminuye en 2,de esto tenemos que la cantidad de B's siempre mantiene su paridad y como empieza con 5 B's entonces la cantidad de B's siempre es impar y tenemos lo que queríamos.
(2)Hay al menos un A:
Sea X una palabra posible,y llamemos a los B's como [math]B_1,[math]B_2,...,[math]B_i de izquierda a derecha,y llamemos [math]x_1,[math]x_2,...,[math]x_{i+1} a la cantidad de A's entre dos B's consecutivos(o a la izquierda del primero([math]x_1) o a la derecha del ultimo([math]x_{i+1})) en ese orden, ahora consideremos [math]S=[math]\sum_{j=1}^{i+1}(-1)^{j} x_j en [math]\pmod{3},
es claro que empezamos con [math]S=[math]2 en la primera palabra,ahora veamos que [math]S no varia con cualquier jugada,esto porque con la jugada 1 y 3 la suma varia en 3 o -3 y como [math]S- esta en [math]\pmod{3} no varia,realiza la jugada 2,entonces como se eliminan 2 B's seguidos(digamos [math]B_r y [math]B_{r+1}) entonces [math]x_r se suma a [math]x_{r+2} y al ser [math]x_{r+1}=0 la suma no varia se mantiene [math]\pmod{3}.
Entonces [math]S no varia [math]\pmod{3} es decir luego de cualquier cantidad de jugadas [math]S\equiv 2 \pmod{3} lo cual no seria posible si la cantidad de A's fuera 0,dado que en este caso [math]S\equiv 0 \pmod{3} y habría contradicción,entonces siempre hay al menos un A luego de cualquier cantidad de jugadas realizadas por Ababa
entonces siempre hay al menos un A y al menos un B con lo que tendríamos que el mínimo numero de letras que pueden haber en el juego en cualquier momento es 2, con el ejemplo inicial acaba el problema.
Vamos a darle un valor a la palabra dependiendo de sus letras.
La $A$ le suma un punto a la palabra.
La $B$ le suma a la palabra lo que está a la izquierda de la $B$, unos ejemplos:
$BAA$, acá la $B$ tiene un valor de 0.
$ABAAA$, acá la $B$ tiene un valor de 1.
$AAABA$, acá la $B$ tiene un valor de 3.
$AABAAAB$, acá la última $B$ tiene un valor de 7.
Cuando borramos 3 $A$s, si estás tienen $n$ $B$s a la derecha, le restamos $3×2^n$ a la palabra (la primera $B$ se le bajan 3 puntos por perder a las $A$, la segunda se le bajan 3 por perder a las $A$ y 3 porque bajo la $B$ de la izquierda y así).
Cuando borramos 2 $B$s, si la de la izquierda tiene un puntaje de $N$ la de la derecha tendrá un puntaje de $2N$ (los primeros $N$ puntos los consigue de lo que está a la izquierda de la $B$ que tiene a la izquierda y los otros $N$ de la $B$ que tiene a la izquierda) y si a la derecha de las 2 $B$s hay $n$ $B$s, le restamos $3N×2^n$ a la palabra (la primera $B$ se le bajan $3N$ puntos por perder a las $B$s, la segunda se le bajan $3N$ por perder a las $B$s y $3N$ porque bajo la $B$ de la izquierda y así).
Pasar de $AB$ a $BAA$ no altera el puntaje porque a la $B$ se me resta un punto el cual se recupera al agregar una $A$.
Todas las acciones que ejercemos mantiene la congruencia en módulo 3 y como la palabra original tiene un puntaje congruente a 2 en mod 3 (68 para ser exactos) está congruencia es invariante y las palabras más cortas con la misma congruencia son $AA$ y $AB$ ambas de 2 dígitos.
veamos que Ababa puede obtener una palabra de 2 letras de la siguiente forma:
ABABABAABAAB $\to$ BAAABABAABAAB $\to$ BBABAABAAB $\to$ ABAABAAB $\to$ BAAAABAAB $\to$ BABAAB $\to$ BBAAAAB $\to$ BBAB $\to$ AB
Ahora veamos que necesariamente debe haber al menos un A y al menos un B en cualquier palabra a la que pueda llegar Ababa,con lo que tendríamos lo pedido
Llamemos jugada 1,2 y 3 a las posibles jugadas de Ababa en el orden en el que aparecen en el problema
(1)Hay al menos un B:
Veamos que al realizar la jugada 1 o 3 no cambia la cantidad de B's ,y que al realizar la jugada 2 la cantidad de B's disminuye en 2,de esto tenemos que la cantidad de B's siempre mantiene su paridad y como empieza con 5 B's entonces la cantidad de B's siempre es impar y tenemos lo que queríamos.
(2)Hay al menos un A:
Sea X una palabra posible,y llamemos a los B's como $B_1$,$B_2$,...,$B_i$ de izquierda a derecha,y llamemos $x_1$,$x_2$,...,$x_{i+1}$ a la cantidad de A's entre dos B's consecutivos(o a la izquierda del primero($x_1$) o a la derecha del ultimo($x_{i+1}$)) en ese orden, ahora consideremos $S$=$\sum_{j=1}^{i+1}(-1)^{j} x_j$ en $\pmod{3}$,
es claro que empezamos con $S$=$2$ en la primera palabra,ahora veamos que $S$ no varia con cualquier jugada,esto porque con la jugada 1 y 3 la suma varia en 3 o -3 y como $S-$ esta en $\pmod{3}$ no varia,realiza la jugada 2,entonces como se eliminan 2 B's seguidos(digamos $B_r$ y $B_{r+1}$) entonces $x_r$ se suma a $x_{r+2}$ y al ser $x_{r+1}$=0 la suma no varia se mantiene $\pmod{3}$.
Entonces $S$ no varia $\pmod{3}$ es decir luego de cualquier cantidad de jugadas $S\equiv 2 \pmod{3}$ lo cual no seria posible si la cantidad de A's fuera 0,dado que en este caso $S\equiv 0 \pmod{3}$ y habría contradicción,entonces siempre hay al menos un A luego de cualquier cantidad de jugadas realizadas por Ababa
entonces siempre hay al menos un A y al menos un B con lo que tendríamos que el mínimo numero de letras que pueden haber en el juego en cualquier momento es 2, con el ejemplo inicial acaba el problema.
No entendi muy bien la parte 2) (demostracion de que tiene que haber al menos una A).
Alguien lo podria explicar, porfavor.
Aplicarle una palabra a $XYZ$ va a ser leer la palabra de izquierda a derecha y cada vez que leemos una $A$ rotamos el triangulo $60°$ sentido horario y cada vez que leemos una $B$ reflejamos el triángulo respecto a la mediatriz del lado paralelo al eje x, por ejemplo si leemos la palabra $BAA$ el triángulo nos queda así
Primero reflejamos por la mediatriz
Aplica.jpg
Luego rotamos dos veces $60°$
Movido.jpg
Ahora notemos que si tenemos una sucesión de palabras $p_1, p_2,...,p_n$ de la cual $p_{i+1}$ se obtiene de aplicarle una operación del enunciado a $p_i$ entonces al aplicarle cualquiera de estas palabras a $XYZ$ obtenemos el mismo triángulo con las letras en las mismas posiciónes.
Para ver que esto se cumple basta ver que se cumple para $p_i$ y $p_{i+1}$ veamos los 3 casos.
Si para obtener $p_{i+1}$ borramos tres letras $A$ de $p_i$ estamos sacando tres rotaciones consecutivas las cuales no le hacían nada a nuestro triángulo.
Si para obtener $p_{i+1}$ borramos dos letras $B$ de $p_i$ estamos sacando dos reflexiones consecutivas las cuales no le hacían nada a nuestro triángulo.
Si para obtener $p_{i+1}$ cambiamos $AB$ por $BAA$ de $p_i$ basta notar que aplicarle $AB$ al triángulo lo deja igual que aplicarle $BAA$ (arriba esta el ejemplo de aplicar $BAA$).
Ya visto esto, sin importar que operaciones le hagamos a $ABABABAABAAB$ lo que nos quede al final si se lo aplicamos a $XYZ$ nos lo deja igual que si le aplicamos $ABABABAABAAB$. Si le aplicamos $ABABABAABAAB$ a $XYZ$ nos queda
Movido.jpg
Pero este triángulo no se puede formar aplicándole $A$ a $XYZ$ ni aplicándole $B$ a $XYZ$ por lo tanto la mínima cantidad de letras en la palabra de Ababa es al menos $2$, en la solución de enigma esta el ejemplo para llegar a una palabra con $2$.
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