Si $q$ es impar, nos queda que:
-Si $r$ es impar, entonces $r^2\equiv 1(8)$ y $5q^2\equiv 5(8)$, entonces $r^2-5q^2\equiv 4(8)$,
por lo tanto $r^2-5q^2$ es múltiplo de $4$ pero no de 8.
Pero como $r^2-5q^2=2(p^2-1)$, si $p$ es par $2(p^2-1)$ no es múltiplo de $4$ (ya que $p^2-1$ es impar), y si $p$ es impar $2(p^2-1)$ es múltiplo de $8$ (ya que $p^2\equiv 1(4)$), absurdo.
-Si $r$ es par, entonces $r^2-5q^2$ es impar, pero $r^2-5q^2=2(p^2-1)$ es par, absurdo.
Por lo tanto obtenemos que $q$ es par, y como $q$ es primo, $q=2$.
Entonces nos queda que $r^2-20=2p^2-2\implies r^2=2(p^2+9)$.
Tenemos que $r^2\equiv 0(3)$ si $r$ es múltiplo de $3$, y si no $r^2\equiv 1(3)$. Pero tenemos que $p^2\equiv 0\vee 1(3)\implies 2(9+p^2)\equiv 0\vee 2(3)$, por lo tanto tenemos que $r^2\equiv p^2\equiv 0(3)$, y como $p$ es primo nos queda que $p=3$, y así $r^2=36\implies r=6$.
Por lo tanto concluimos que la única terna $(p,q,r)$ que cumple es $(3,2,6)$.
