Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P3

[Violeta]

Sea $A$ un conjunto de $m\geq 1$ enteros.

Demostrar que existe un subconjunto no-nulo $B$ de $A$, tal que la suma de los elementos de $B$ es divisible por $m$

[Gianni De Rico]

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Sean $x_1,x_2,\ldots ,x_m$ los elementos de $A$
Consideramos las $m$ sumas:
$x_1$
$x_1+x_2$
$x_1+x_2+x_3$
$\ldots$
$x_1+x_2+\ldots +x_m$

O bien estas sumas cubren todos los restos $\pmod m$, en cuyo caso hay alguna que tenga resto $0\pmod m$
O cubren menos de $m$ restos, y por Palomar hay dos con el mismo resto $\pmod m$, entonces su resta es $0\pmod m$