Si [math]n no es primo, entonces existen [math]a,b\in \mathbb{N} tales que [math]n=ab con [math]1<a<n. Como [math]2^a\equiv 1\pmod {2^a-1} entonces [math]2^n=\left (2^a\right )^b\equiv 1^b=1\pmod {2^a-1}, de donde [math]2^a-1\mid 2^n-1 y como [math]1<a<n entonces [math]1<2^a-1<2^n-1, por lo tanto [math]2^n-1 no es primo, absurdo. Por lo tanto [math]n debe ser primo.
Existe [math]k\in \mathbb{N}_0 tal que [math]n=2^km donde [math]m es impar. Como [math]2^{2^k}\equiv -1\pmod {2^{2^k}+1} entonces [math]2^n=\left (2^{2^k}\right )^m\equiv \left (-1\right )^m=-1\pmod {2^{2^k}+1}, por lo tanto [math]2^{2^k}+1\mid 2^n+1. Como [math]2^n+1 es primo y [math]1<2^{2^k}+1 entonces [math]2^{2^k}+1=2^n+1, de donde [math]n=2^k (y por lo tanto [math]m=1).