Regional 2017 N2 P3

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Matías V5

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Regional 2017 N2 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sea [math] un triángulo isósceles con [math] y [math] mayor que [math]. Sea [math] en el lado [math] tal que [math] es bisectriz del ángulo [math]. La recta perpendicular a [math] trazada por [math] corta al lado [math] en [math]. La recta paralela a [math] trazada por [math] corta al lado [math] en [math]. Si [math] y [math], calcular la medida del segmento [math] y del lado [math].
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juliamendolx
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Re: Regional 2017 N2 P3

Mensaje sin leer por juliamendolx »

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Como el triángulo es isósceles con AB=BC, los ángulos ACB y BAC son iguales. Además, como el triángulo DAC es semejante a ABC (se forma con la paralela de un lado del triángulo más grande) el ángulo AFD también mide lo mismo.
Si DAF y AFD son iguales, el triángulo AFD es isósceles con AD=DF=6.
Por el segundo teorema de Thales, el triángulo rectángulo DEC tiene como hipotenusa a EC que mide 12, ya que DF es la mediana correspondiente a la hipotenusa y el ángulo D (F es el centro de la circunferencia por la que pasan los vértices del triángulo).
Si EF mide 6, por ser la mitad de la hipotenusa, AF=2+6=8
Finalmente, con el primer teorema de Thales decimos que AB/AC=AD/AF. O sea, AB/14=6/8 y despejando nos queda que AB=10,5
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Sofi G

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Re: Regional 2017 N2 P3

Mensaje sin leer por Sofi G »

A mi tambien me dio
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8 y 10,5!
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Matías V5

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Re: Regional 2017 N2 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

@juliamendolx: cómo sabes que
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$DF$ es la mediana en $DEC$?
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tot567
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Re: Regional 2017 N2 P3

Mensaje sin leer por tot567 »

Hola! A mi me dieron
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21/2 y 8.
Lo chequeé bastante así que estoy muy seguro!
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juliamendolx
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Re: Regional 2017 N2 P3

Mensaje sin leer por juliamendolx »

Matías V5 escribió:@juliamendolx: cómo sabes que
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$DF$ es la mediana en $DEC$?
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Porque al ser BC y DF paralelas, el ángulo FDC y el DCB son iguales (llamémoslo a). FDC es isósceles con FD=FC.
Ya había sacado que AFD es igual al ángulo ACB (2a) porque los triángulos eran semejantes, entonces el triángulo ADF me queda isósceles con DF=EF. EDF y FED valen 90°-a.
Así tengo que EF, DF y FC son iguales.
Quedaría algo así
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Dauphineg

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Re: Regional 2017 N2 P3

Mensaje sin leer por Dauphineg »

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Llamado $E\widehat{C}D=x$ tenemos que $E\widehat{C}D=A\widehat{C}D=D\widehat{C}B=x$
ademas $A\widehat{C}B=A\widehat{F}D=B\widehat{A}C=D\widehat{A}F=2.x$
Sale entonces que $DF=AD=6$ ,
Como $E\widehat{C}D+F\widehat{D}C=A\widehat{F}D=2.x$ tendremos que $F\widehat{D}C=x$
Es decir que $DF=FC=6$ y ademas $F\widehat{D}E=90°-x$
Como $EDC$ es triangulo rectángulo $D\widehat{E}F=D\widehat{E}C=90-x=F\widehat{D}E$
entonces $EF=DF=6$
luego $AF=2+6=8$ y $AC=2+6+6=14$
Por teorema de la bisectriz se tiene que $\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{DB}$ , o sea $\frac{14}{AB}=\frac{6}{AB-6}$
de la ultima ecuación se despeja $AB=21/2$
LucasRakita
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Re: Regional 2017 N2 P3

Mensaje sin leer por LucasRakita »

juliamendolx escribió:
Matías V5 escribió:@juliamendolx: cómo sabes que
Spoiler: mostrar
$DF$ es la mediana en $DEC$?
Spoiler: mostrar
Porque al ser BC y DF paralelas, el ángulo FDC y el DCB son iguales (llamémoslo a). FDC es isósceles con FD=FC.
Ya había sacado que AFD es igual al ángulo ACB (2a) porque los triángulos eran semejantes, entonces el triángulo ADF me queda isósceles con DF=EF. EDF y FED valen 90°-a.
Así tengo que EF, DF y FC son iguales.
Quedaría algo así
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El tema es que este no es un triangulo isoceles, los lados semejantes tienen que formar el angulo obtuso.
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Gianni De Rico

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Re: Regional 2017 N2 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sí son iguales, lo que escribió es correcto, si hacés el dibujo te das cuenta.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
LucasRakita
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Re: Regional 2017 N2 P3

Mensaje sin leer por LucasRakita »

El triangulo inscripto si cumple, pero el triangulo abc no
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