Tomando como vértices los puntos de intersección de las prolongaciones de los lados de un hexágono regular $H_0$ se obtiene un nuevo hexágono regular $H_1$. De la misma manera, a partir de $H_1$ se construye $H_2$ y así sucesivamente. ¿Cuál es el primer hexágono $H_n$ cuya área es mayor que $1995$ veces el área del hexágono $H_0$?
Primero hay que ver que si [math]a es el lado de [math]H_i, entonces el lado de [math]H_{i+1} va a medir [math]a\sqrt{3}. Demostración:
Partamos de un hexágono de vértices [math]A, [math]B, [math]C, [math]D, [math]E, [math]F y sean [math]H la intersección de [math]FA con [math]CB, y [math]G la intersección de [math]AB con [math]DC. Al ser regular, los ángulos internos van a medir [math]120^{\circ}, entonces [math]\angle HFC=\angle HAB=\angle HCF=\angle HBA=60^{\circ} (todo por simetría y por paralelas). De eso resulta que [math]\triangle ABH es equilátero, entonces si el lado del hexágono es [math]a, [math]HB=BC=a, de donde [math]HC=2a. Análogamente, resulta que [math]\triangle BCG es equilátero y que [math]BG=CG=a. Como [math]HB=BG=BC=a, resulta que [math]B es el circuncentro de [math]\triangle HCG, entonces al estar [math]B sobre el punto medio de un lado del triángulo, sigue que [math]\angle CGH=90^{\circ}. Aplicando pitágoras al [math]\triangle CGH, resulta que [math]HG=a\sqrt{3} (siendo [math]HG el lado del nuevo hexágono).
Sabemos que el área de un hexágono regular en función de un lado [math]a es [math]\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)a^2. Luego si [math]H_0 tiene lado [math]a, el área de [math]H_{1} va a ser [math]\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)(a\sqrt{3})^2=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)3a^2, es decir que [math]3\text{area}(H_0)=\text{area}(H_1). Si procedemos inductivamente resulta que [math]\text{area}(H_n)=3^n\text{area}(H_0). Pero nosotros tenemos que encontrar el menor [math]n tal que [math]\frac{\text{area}(H_n)}{\text{area}(H_0)}>1995, es decir, el menor [math]n tal que [math]3^n>1995. Por lo tanto [math]n=7 es la respuesta, o mejor dicho, el hexágono [math]H_7.
Tomando como vértices los puntos de intersección de las prolongaciones de los lados de un hexágono regular [math]H_0 se obtiene un nuevo hexágono regular [math]H_1. De la misma manera, a partir de [math]H_1 se construye [math]H_2 y así sucesivamente. ¿Cuál es el primer hexágono [math]H_n cuya área es mayor que [math]1995 veces el área del hexágono [math]H_0?
Llamo punto prolongado al punto que se obtiene al realizar la operación. Notemos que los puntos prolongados junto con los dos vértices más cercanos (es decir, el punto que se obtiene de la intersección de las rectas que pasan por esos vértices pero no por los dos a la vez) forman triángulos equiláteros, por lo tanto, un vértice y sus dos puntos prolongados más cercanos (los que se obtienen con las dos rectas que pasan por el vértice) forman un triángulo isósceles de lados iguales congruentes con los del hexágono anterior y el ángulo entre ellos de $120^\circ$. Estos triángulos están formados por dos medio-equiláteros por lo que su lado desigual $\ell _n$ mide $2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \ell _{n-1}=\sqrt{3}\cdot \ell _{n-1}$. El área de un triángulo equilátero de lado $x$ es $\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot x^2$, como un hexágono regular está formado por $6$ triángulos equiláteros su área es $\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot x^2$. Combinando estas dos ecuaciones obtenemos:
$\ell _n^2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=(\sqrt{3}\cdot \ell _{n-1})^2\times \frac{3\sqrt{3}}{2}=3\cdot \ell _{n-1}^2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Es decir que el área de un hexágono es $3$ veces el área del hexágono anterior y por lo tanto el hexágono $H_n$ tendrá $3^n$ veces el área del hexágono $H_0$. Como $3^6=729<1995<2187=3^7$, tenemos que $n=7$. Por lo que el hexágono pedido es $H_7$.
