Un tablero cuadrado de [math]2015 \times 2015 está dividido en casillas de [math]1 \times 1. Se numeran las filas, de arriba hacia abajo, de [math]1 a [math]2015 y se numeran las columnas, de izquierda a derecha, de [math]1 a [math]2015. A continuación se colorean de negro todas las filas y todas las columnas con número par. Calcular la cantidad de casillas negras que tendrá el tablero.
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Sea [math]n el número de filas y columnas del tablero, con [math]n impar. Identifiquemos cada casilla del tablero con dos índices, [math]i y [math]j, de modo que [math]1\leq i\leq n y [math]1\leq j\leq n. Cada casilla se identifica como [math]a_{ij}, donde [math]i es el índice que expresa su número de fila, y [math]j el número de columna. Dividamos las casillas del tablero en cuatro conjuntos disjuntos [math]A, [math]B, [math]C y [math]D, de modo que: [math]A=\{a_{ij} \text { / } i \equiv 1\pmod 2; j\equiv 0\pmod 2\} [math]B=\{a_{ij} \text { / } i \equiv 0\pmod 2; j\equiv 1\pmod 2\} [math]C=\{a_{ij} \text { / } i \equiv j\equiv 0\pmod 2\} [math]D=\{a_{ij} \text { / } i \equiv j\equiv 1\pmod 2\}
Sea [math]k el número de casillas pintadas. Sea [math]\#(X) el cardinal de un conjunto [math]X. Es claro que: [math]k=\#(A)+\#(B)+\#(C)=n^2-\#(D)
Calcularemos el cardinal del conjunto [math]D. Este equivale al número de casillas cuyos dos índices son impares. Si [math]n=2a+1, es claro que hay [math]a+1 posibilidades para [math]i y [math]a+1 posibilidades para [math]j, así que: [math]\#(D)=(a+1)^2
Desarrollando la fórmula se obtiene que: [math]k=\frac {3}{4}(n-1)\left(n+\frac {1}{3}\right)
Reemplazando [math]n=2015 se obtiene el resultado que pusieron más arriba.
Fijemosnos que contar la cantidad de casillas negras es lo mismo que contar la cantidad de casillas blancas y restar ese número a la cantidad total de casillas.
Hay [math]2015^2 casillas.
Por otro lado, las casillas blancas so las que están sin colorear, es decir, las que están en filas y columnas impares.
Como todo todo numero impar se puede expresar de la forma [math]2 \cdot k -1 para algún nautral [math]k, y [math]2015=2 \cdot 1008 -1, se tiene que hay [math]1008 número impares entre [math]1 y [math]2015.
Por tanto, hay [math]1008^2 casillas blancas.
En conclusión, hay [math]2015^2-1008^2=3044161 casillas negras en el tablero
Hay $\frac{2015-1}{2}=1007$ columnas con número par, en ellas contamos $2015\times 1007$ casillas negras. Luego, hacemos lo mismo con las filas, y en total tendríamos $2\times 2015\times 1007$ casillas negras, pero aquí se están contando casillas dos veces, que son $1007^2$, por eso hay que quitarlas una vez. Luego, la cantidad de casillas negras es$$2\times 2015\times 1007-1007^2=3023\times 1007.$$
