Intercolegial 1995 Nivel 3 Problema 3

[Hechicero]

¿Se pueden distribuir los números del $1$ al $16$ en las casillas del tablero de modo que la suma de los números ubicados en tres casillas consecutivas sea siempre menor o igual que $24$?$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\; \\
\hline
\end{array}$$

[AgusBarreto]

Creo que faltan las especifaciones del tablero

[Hechicero]

Yo también pensé lo mismo... pero en el Archivo de enunciados de la pagina no hay nada. O tal vez hay que probar los tres casos (1x16; 2x8; 4x4). Estoy desconcertado.

[Brimix]

Imagino que si no esta en el enunciado hubo un dibujo en el examen, el de [math]1x[math]16 dudo que entre y como el tablero de [math]2x[math]8 hace que la solución sea relativamente fácil, creería que se resuelve en un tablero de [math]4x[math]4

Y para mi...(respuesta):

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No se puede

[Xgust]

Acá está la foto del tablero. ¿Alguno puede decirme cómo lo resolvieron?

[¿hola?]

Acá está la foto del tablero. ¿Alguno puede decirme cómo lo resolvieron?

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Fijate que la suma de los números es $1+2+...+16=136$, esta es la suma de las $16$ casillas, ahora mira que entre las primeras $15$ casillas hay $5$ bloques de $3$ casillas consecutivas que suman como mucho $24$ cada uno y los $5$ bloques sumados da como mucho $24*5=120$ osea que si la ultima casilla no es $16$ la suma de las primeras $15$ más la ultima (osea todas) no llega a $120+16=136$ osea no llega a lo que tendría que ser, esto es un absurdo (viene de suponer que el problema se puede), si la ultima casilla si es $16$ entonces la primera no lo es y usas el argumento anterior de adelante para atrás.

[NPCPepe]

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Supongamos que hay 5 grupos de tres casillas y una al final es decir $(c_1,c_2,c_3)$ ... $(c_{13},c_{14},c_{15})$ y $(c_{16})$, en el caso en que las primeras 15 casillas tengan el menor valor posible (para hacer que cada grupo de 3 sume menos de $24$), la ultima casilla tiene un valor de $16$, pero aunque esta tenga el maximo valor posible, la suma de los 5 subgrupos restantes es $1+2+3+..+15=15*16/2=120$ y si dividimos esto por $5$, obtenemos $24$ es decir que alguno de los subgrupos va a tener que ser mayor o igual que $24$, en el caso de que todos los grupos de 3 sean iguales a 24, las dos casillas antes de la última serían como mínimo $24-15=9$ y $9+16=25>24$ por lo tanto es imposible resolver el tablero

[Xgust]

Gracias