Olimpiada de Mayo 2024 N2 P5

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BR1

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Olimpiada de Mayo 2024 N2 P5

Mensaje sin leer por BR1 »

Un calamardo es una pieza que se mueve en un tablero de la siguiente manera: avanza tres casillas en una dirección y a continuación, dos casillas en una dirección perpendicular. Por ejemplo, en la siguiente figura, haciendo una movida el calamardo se puede mover a cualquiera de las $8$ casillas indicadas con las flechas. Inicialmente, hay un calamardo en cada una de las $35$ casillas de un tablero de $5\times 7$. Al mismo tiempo, cada uno de ellos hace exactamente una movida. ¿Cuál es el menor número posible de casillas vacías después de esas movidas?
Mayo2024N2P5.png
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Kechi

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Re: Olimpiada de Mayo 2024 N2 P5

Mensaje sin leer por Kechi »

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Numeremos las filas del $1$ al $5$ y las columnas del $1$ al $7$, de arriba para abajo y de izquierda a derecha respectivamente. En cada casilla escribimos una pareja $n,m$ que indica que el calamardo de esa casilla se movió a la casilla de la columna $n$ y la fila $m$. Por ejemplo la casilla superior izquierda tiene la pareja $4,3$, lo que indica que el calamardo que inicialmente estaba en la $1,1$ se movió a la casilla central. Las $5$ casillas sombreadas son las que quedan vacías.
EjemploMayoN2P5.png

Ahora pintemos el tablero de azul y blanco.

Mayo2024N2P5óptimo.png
Notemos que la única forma de que un calamardo llegue a una casilla azul es partiendo de una casilla blanca. Como tenemos $15$ casillas blancas y $20$ casillas azules necesariamente al menos $5$ casillas azules van a quedar vacías. Con esto terminamos la demostración. $\bigstar$
Comentario
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Gracias @BR1 que me hiciste dar cuenta de que podía ahorrar en pintura.
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"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
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