Olimpiada de Mayo 2024 N2 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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BR1

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Olimpiada de Mayo 2024 N2 P1

Mensaje sin leer por BR1 »

Se tiene un tablero cuadriculado de $4\times 8$ dividido en $32$ casillas de $1\times 1$ y fichas de $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$ y $4\times 4$. Se quiere cubrir totalmente el tablero usando exactamente $n$ de estas fichas.
$a)$ ¿Es posible hacerlo si $n=19$?
$b)$ ¿Es posible hacerlo si $n=14$?
$c)$ ¿Es posible hacerlo si $n=7$?
En cada caso, si la respuesta es sí, mostrar una forma de cubrir el tablero, y si la respuesta es no, explicar por qué es imposible.

Aclaración: Las fichas no se pueden superponer ni salirse del tablero.
ACLARACIÓN: $1$ no es primo
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Kechi

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Re: Olimpiada de Mayo 2024 N2 P1

Mensaje sin leer por Kechi »

a)
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Supongamos que es posible. Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ las cantidades de fichas de $1\times1$, $2\times2$, $3\times3$ y $4\times4$ que se usan, respectivamente. Notemos que las fichas de $1\times1$ ocupan una casilla, las de $2\times2$ ocupan $4$, las de $3\times3$ ocupan $9$ y las de $4\times4$ ocupan $16$. Como las fichas cubren todo el tablero tenemos que $a+4b+9c+16d=32$ y $a+b+c+d=19$. Restando ambas expresiones y mirando módulo $3$ resulta $$8c\equiv13 \pmod3\iff c\equiv2\pmod3$$ Pero $c$ no puede ser mayor a $3$ porque cada $3\times3$ ocupa $9$ casillas y el tablero tiene $32$, así que $c=2$. Luego $$32=a+4b+9c+16d\geqslant a+b+18+d\Longrightarrow 16\geqslant a+b+c+d=19$$
Absurdo. Entonces no se pueden usar exactamente $19$ fichas. $\bigstar$
b)
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Sí, es posible:
Mayo2024N2P1.png
Se usan una ficha de $4\times4$, una de $2\times2$ y doce de $1\times1$. $\bigstar$
c)
Spoiler: mostrar
Supongamos que es posible. Razonando como en (a) (porque $19\equiv7\equiv1\pmod3$) concluimos que se usan dos fichas de $3\times3$. Como el tablero tiene $4$ filas, encima o debajo de cada $3\times3$ hay una franja de $1\times3$ que sólo puede cubrirse con tres fichas $1\times1$. Por lo tanto hasta ahora se necesitan al menos $1+1+3+3=8$ fichas, absurdo porque supusimos que se usaban $7$. Se sigue que no es posible usar exactamente $7$ fichas. $\bigstar$
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"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
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