Intercolegial 2022 N3 P1

[Gianni De Rico]

En las figuras se ven dos diagramas realizados con monedas del mismo tamaño. En el primero, cada lado tiene dos monedas en cada uno de los $6$ lados y el segundo tiene $3$ monedas en cada lado. Determinar la cantidad total de monedas que debe tener una figura con $22$ monedas en cada lado.

IMG_20220526_192401.jpg

[manueloribe]

Spoiler: mostrar

Veamos las filas de derecha a izquierda. Para el caso de lado 2, hay 3 filas de 2, 3 y 2 monedas cada una. Para el de 3, hay 5 filas de 3, 4, 5, 4 y 3 monedas cada una.

Conjectura: Para el caso de lado n, van a haber $2n-1$ filas con $n, n+1, n+2, \dots 2n-2, 2n-1, 2n-2 \dots n+2, n+1, n$
Prueba por induccion:
Caso 0:
Lado 1: una sola moneda(1 fila, de 1)
Caso n->n+1:
La cantidad de filas es facil, si antes habia $2n-1$, ahora hay dos extra: $2(n+1)-1$.
El segundo lema, es más dificil, pero la primera y ultima tienen $n+1$ monedas(porque tienen lado n+1), y cada fila que le siga tiene 2 más que antes: $n$ ahora tiene $n+2$, $n+1$ ahora tiene $n+3$, etc. hasta $2n-1+2=2(n+1)-1$

Con esto, podemos intentar resolver la cantidad de monedas en una figura de lado n:
$R=n+n+1+n+2+n+3+\dots +2n-2+2n-1+2n-2\dots +n+3+n+2+n+1\\
S=n+n+1+n+2+n+3+\dots +2n-2\\
S=2n-2+2n-3+\dots +n+1+n\\
2S=3n-2+3n-2+\dots=(3n-2)\cdot(n-1)\\
S=\frac{(3n-2)\cdot(n-1)}2\\
R=2S+2n-1\\
R=(3n-2)\cdot(n-1)+2n-1\\
R=3n^2-3n+1$
y metiendo n=22, da 1387 monedas.

Como desafio extra/modo de verificacion:
La diferencia entre dos figuras consecutivas es dada por la siguiente formula
$R(n)-R(n-1)=(3n^2-3n+1)-(3(n-1)^2-3(n-1)+1)\\
R(n)-R(n-1)=3(n^2-(n-1)^2)-3(n-(n-1))+1-1\\
R(n)-R(n-1)=3(2n-1)-3\\
R(n)-R(n-1)=6n-6=6(n-1)$
Es decir que cada hexagono de lado n puede ser dividido en una pieza central con un hexagono de lado $n-1$ y 6 piezas de $n-1$ monedas. Es dificil demostrar esto sin dibujar la figura, pero es demostrable a ser verdad y deja en claro que la solucion es correcta.

[joa.fernandez]

Spoiler: mostrar

Mirando desde la moneda central hacia uno de los lados del hexágono tenemos un triángulo equilátero compuesto por $1+2+\ldots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ monedas. Hay $6$ de estos, luego tenemos $3n(n+1)$ pero estamos contado cada fila de lados consecutivos dos veces (sin mirar a la central) y $6$ veces a la central, de donde el total será $3n(n+1)-6(n-1)-5=3(n-1)n+1$, que para $n=22$ es $1387$.