Cono Sur 2021 - P4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Uriel J

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Cono Sur 2021 - P4

Mensaje sin leer por Uriel J »

En un montón hay $2021$ piedras. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan a retirar piedras del montón, en forma alternada y comenzando por $A$. Una jugada válida para $A$ consiste en retirar $1$, $2$ o $7$ piedras. Una jugada valida para $B$ consiste en retirar $1$, $3$, $4$ o $6$ piedras. Gana el jugador que deje el montón vacío luego de hacer una jugada válida. Determine si alguno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora. En caso que exista, expliquela.
Nice bro, congratulations!
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Turko Arias

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Re: Cono Sur 2021 - P4

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Spoiler: mostrar
Notemos que si en determinado momento le toca jugar a $B$ y en la pila hay $n$ piedras y $n \equiv 0(5)$ o $n \equiv 2(5)$ entonces $B$ no puede ganar en ese turno.
Veamos además que $A$ puede asegurarse que $B$ siempre reciba una cantidad con esos restos módulo $5$.
En su primera jugada $A$ quita una piedra y le deja a $B$ $2020$ piedras. A partir de ese momento:

Si hay $n \equiv 0(5)$ piedras:
Si $B$ quita $6$ piedras, $A$ quita $2$ y $n-8 \equiv 2(5)$
Si $B$ quita $4$ piedras, $A$ quita $1$ y $n-5 \equiv 0(5)$
Si $B$ quita $3$ piedras, $A$ quita $2$ y $n-5 \equiv 0(5)$
Si $B$ quita $1$ piedras, $A$ quita $2$ y $n-3 \equiv 2(5)$

Si hay $n \equiv 2(5)$ piedras:
Si $B$ quita $6$ piedras, $A$ quita $1$ y $n-7 \equiv 0(5)$
Si $B$ quita $4$ piedras, $A$ quita $1$ y $n-5 \equiv 2(5)$
Si $B$ quita $3$ piedras, $A$ quita $2$ y $n-5 \equiv 2(5)$
Si $B$ quita $1$ piedras, $A$ quita $1$ y $n-2 \equiv 0(5)$

Luego, como el juego se termina y no permite los empates esta estrategia le asegura a $A$ asegurarse la victoria y estamos $\blacksquare$
Fundamentalista del Aire Acondicionado

Y todo el orgullo de ser bien bilardista
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